Series infinitas usando factoriales descendentes

Hace poco comencé a leer Concrete Mathematics de Graham, Knuth y Patashnik y me encontré con factoriales descendentes/ascendentes por primera vez; parecía un método muy conveniente para evaluar sumas particulares.

Vi el siguiente problema en un sitio diferente e intenté usar factoriales descendentes para obtener la respuesta:

Determinar   ∑ k = 0 ∞ 1 ( 4 k + 1 ) ( 4 k + 2 ) ( 4 k + 3 ) ( 4 k + 4 ) .
Esto es lo que hice:

Primero noté que ( 4 k ) − 4 _ = 1 ( 4 k + 1 ) ( 4 k + 2 ) ( 4 k + 3 ) ( 4 k + 4 ) ; así que reescribí la serie como

límite norte → ∞ ( ∑ k = 0 norte ( 4 k ) − 4 _ ) .
Evaluando la serie que obtengo,
∑ k = 0 norte ( 4 k ) − 4 _ = ( 4 k ) − 3 _ − 3 | 0 norte + 1 = [ 4 ( norte + 1 ) ] − 3 _ − 3 − 0 − 3 _ − 3 = − 1 3 1 [ 4 ( norte + 1 ) + 1 ] [ 4 ( norte + 1 ) + 2 ] [ 4 ( norte + 1 ) + 3 ] + 1 18
Luego tomé el límite de la expresión de forma cerrada para la serie anterior,
límite norte → ∞ ( − 1 3 1 [ 4 ( norte + 1 ) + 1 ] [ 4 ( norte + 1 ) + 2 ] [ 4 ( norte + 1 ) + 3 ] + 1 18 ) = 1 18 .

1 18 aparentemente es la respuesta incorrecta. Esta es la primera vez que uso los factoriales descendentes fuera del libro de texto, por lo que no estoy seguro de si usarlo en esta pregunta es correcto (pero no veo por qué no sería así). Si alguien me puede dar una pista o explicación, se lo agradecería mucho.

¿Qué? ¿Qué significan estos subrayados en el exponente? .. y luego integras una serie.. bueno.. no digo que no sea correcto.. pero que es???
Aunque no puedo darle una buena solución, convertí mi respuesta en una explicación de lo que sale mal; puede encontrarlo de alguna pequeña utilidad para obtener un mejor manejo de este material.

Respuestas (3)

Completamente revisado y corregido:

El problema es que necesita una regla de la cadena para manejar el factor de 4 en 4 k , y el cálculo finito no tiene uno. En general, es muy difícil tratar con funciones compuestas que no sean cambios simples agregando una constante a la variable. Para ver el problema, considere qué función F ( X ) tendría Δ F ( X ) = ( 2 X ) 2 _ . La analogía con el cálculo ordinario sugeriría que debería ser algo así como ( 2 X ) 3 _ , probablemente ajustado por un coeficiente constante. Pero

Δ ( 2 X ) 3 _ = ( 2 ( X + 1 ) ) 3 _ − ( 2 X ) 3 _ = ( 2 X + 2 ) ( 2 X + 1 ) ( 2 X ) − ( 2 X ) ( 2 X − 1 ) ( 2 X − 2 ) = 4 X ( ( X + 1 ) ( 2 X + 1 ) − ( 2 X − 1 ) ( X − 1 ) ) (1) = 24 X 2 ,

mientras ( 2 X ) 2 _ = ( 2 X ) ( 2 X − 1 ) = 4 X 2 − 2 X ; claramente estos no son múltiplos constantes entre sí. multiplicando ( 1 ) por 1 6 , como sugiere el cálculo ordinario, obtiene el X 2 término correcto, pero no hace nada para arreglar darnos el primer término de poder faltante. Ahora Δ X 2 _ = 2 X , por lo que en este caso podemos arreglar las cosas:

Δ ( 1 6 ( 2 X ) 3 _ − X 2 _ ) = 1 6 ( 24 X 2 ) − 2 X = 4 X 2 − 2 X = ( 2 X ) 2 _ .

Pero ese fue un arreglo ad hoc después del hecho que obviamente no señala el camino hacia una solución general incluso en el caso de un exponente positivo.

No conozco un método de cálculo finito ingenioso para evaluar su límite, pero esto al menos explica por qué lo que intentó no funcionó.

¡¡Gracias!! El libro no menciona la regla de la cadena en absoluto; Básicamente, solo vi el 4k como una x.
Tendré que revisar esa mesa cuando llegue a casa.
Según wolfram, converge en algo completamente diferente wolframalpha.com/input/…
@SomethingWitty: Mis disculpas: mi mente estaba divagando. No existe un cálculo finito análogo a la regla de la cadena, y no me queda claro de inmediato que haya un camino corto para llegar a este límite. Debe anular la aceptación de la respuesta y la eliminaré.
Bueno, ningún problema. Gracias por tu ayuda de todos modos.
@ BrianM.Scott Tiene razón, en general, no hay un cálculo finito análogo a la regla de la cadena , pero en este caso especial, lo es, vea mi respuesta a continuación.

Puede intentar escribir , 1/((4k+1)(4k+2)(4k+3)(4k+4))

=1/(6(4k+1)) + 1/(2(4k+3)) - 1/(4(2k+1)) - 1/(24(k+1))

Como ya señaló Brian M. Scott, necesita una forma de manejar el factor 4, o más general, necesita una regla para sumar/diferencia ( a k + b ) metro _ dónde ( a , b ) = ( 4 , 0 ) en tu caso.

Dicha regla no se da en Matemáticas concretas, sin embargo, puede encontrarla en Calculus if Finite Differences de Boole , en la página 68, eq.(6), dice

∑ ( a k + b ) metro _ = ( a k + b ) metro _ + 1 a ( metro + 1 ) + C ,

o equivalente

Δ ( a k + b ) metro _ = a metro ( a k + b ) metro _ − 1 .

Por cierto, si alguien sabe cómo probar esto, me encantaría saberlo (el libro parece no dar una razón)
Ese libro no usa el factorial descendente, ( a k + b ) metro _ . Usa ( a k + b ) ( metro ) , que define como ( a k + b ) ( a ( k − 1 ) + b ) ⋯ ( a ( k − metro + 1 ) + b ) . Con esta nueva definición, las cosas funcionan bien, pero no proporciona información sobre la pregunta en cuestión.
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