Algunas series infinitas (¡solo por diversión!)

Question

Algunas series infinitas (¡solo por diversión!)

suma
Matemáticas
serie telescópica
secuencias y series
matemáticas-recreativas

Tintorero Franklin Pezzuti

Tengo algunos problemas de series infinitas que creo que MSE podría disfrutar, cuyas respuestas ya sé:

$\sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{2^{norte - 2^{norte}}}{1 + 2^{- 2^{norte}}} = ?$ $\sum_{n=0}^\infty \frac{2^{n-2^n}}{1+2^{-2^n}}=\text{?}$ $\sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{4^{norte + 2^{norte}}}{(1 + 4^{2^{norte}})^{2}} = ?$ $\sum_{n=0}^\infty \frac{4^{n+2^n}}{(1+4^{2^n})^2}=\text{?}$ $\sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{3^{norte} (1 + 2 \cdot 3^{- 3^{norte}})}{2 aporrear (3^{norte} en 3) + 1} = ?$ $\sum_{n=0}^\infty \frac{3^n(1+2\cdot3^{-3^n})}{2\cosh(3^n\ln 3)+1}=\text{?}$

Después de que todos estos hayan sido respondidos, publicaré explicaciones de cómo se me ocurrieron las respuestas para ellos. ¡Divertirse!

zhw.

¿Por qué deberíamos preocuparnos por estas series en particular y por qué crees que tu publicación aquí debería permanecer abierta?

pedro

Aunque supongo que algunas personas podrían disfrutar este desafío, recuerde que este es un sitio de preguntas y respuestas, y no un sitio para publicar desafíos semanales/mensuales/diarios.

Sandeep Silwal

@PedroTamaroff Mejor esto que otra pregunta pidiendo hacer el hw de alguien...

Respuestas (2)

Algunas series infinitas (¡solo por diversión!)

¿Por qué deberíamos preocuparnos por estas series en particular y por qué crees que tu publicación aquí debería permanecer abierta?
Aunque supongo que algunas personas podrían disfrutar este desafío, recuerde que este es un sitio de preguntas y respuestas, y no un sitio para publicar desafíos semanales/mensuales/diarios.
@PedroTamaroff Mejor esto que otra pregunta pidiendo hacer el hw de alguien...

Sang Chul Lee · Answer 1

La etiqueta telescópica es una gran pista:

\begin{aligned} A_{norte} & := \frac{2^{norte}}{2^{2^{norte}} - 1} & \Rightarrow & A_{norte} - A_{norte + 1} = \frac{2^{norte}}{2^{2^{norte}} + 1} \\ B_{norte} & := \frac{4^{norte} \cdot 4^{2^{norte}}}{(4^{2^{norte}} - 1)^{2}} & \Rightarrow & B_{norte} - B_{norte + 1} = \frac{4^{norte} \cdot 4^{2^{norte}}}{(4^{2^{norte}} + 1)^{2}} \\ C_{norte} & := \frac{3^{norte}}{3^{3^{norte}} - 1} & \Rightarrow & C_{norte} - C_{norte + 1} = \frac{3^{norte} (3^{3^{norte}} + 2)}{3^{2 \cdot 3^{norte}} + 3^{3^{norte}} + 1} \end{aligned}

$\begin{align*} A_n &:= \frac{2^n}{2^{2^n}-1} &\Rightarrow & \qquad A_n - A_{n+1} = \frac{2^n}{2^{2^n}+1} \\ B_n &:= \frac{4^n \cdot 4^{2^n}}{(4^{2^n}-1)^2} &\Rightarrow & \qquad B_n - B_{n+1} = \frac{4^n \cdot 4^{2^n}}{(4^{2^n}+1)^2} \\ C_n &:= \frac{3^n}{3^{3^n}-1} &\Rightarrow & \qquad C_n - C_{n+1} = \frac{3^n(3^{3^n}+2)}{3^{2\cdot 3^n}+3^{3^n} + 1} \end{align*}$

De estos, obtenemos

\begin{aligned} \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{2^{norte}}{2^{2^{norte}} + 1} & = \underset{norte \to \infty}{límite} (A_{0} - A_{norte + 1}) = 1 \\ \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{4^{norte} \cdot 4^{2^{norte}}}{(4^{2^{norte}} + 1)^{2}} & = \underset{norte \to \infty}{límite} (B_{0} - B_{norte + 1}) = \frac{4}{9} \\ \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{3^{norte} (3^{3^{norte}} + 2)}{3^{2 \cdot 3^{norte}} + 3^{3^{norte}} + 1} & = \underset{norte \to \infty}{límite} (C_{0} - C_{norte + 1}) = \frac{1}{2} \end{aligned}

$\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{2^{2^n}+1} &= \lim_{N\to\infty} (A_0 - A_{N+1}) = 1 \\ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^n \cdot 4^{2^n}}{(4^{2^n}+1)^2} &= \lim_{N\to\infty} (B_0 - B_{N+1}) = \frac{4}{9} \\ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n(3^{3^n}+2)}{3^{2\cdot 3^n}+3^{3^n} + 1} &= \lim_{N\to\infty} (C_0 - C_{N+1}) = \frac{1}{2} \end{align*}$

Para una generalización, sea $a \geq 2$ ser un entero y considerar

{PAG}_{norte} = \frac{a^{norte}}{X^{a^{norte}} - 1} .

$P_n = \frac{a^n}{X^{a^n}-1}.$

Entonces no es difícil comprobar que

{PAG}_{norte} - {PAG}_{norte + 1} = \frac{a^{norte} \sum_{k = 0}^{a - 2} (a - 1 - k) X^{k \cdot a^{norte}}}{\sum_{k = 0}^{a - 1} X^{k \cdot a^{norte}}}

$P_n - P_{n+1} = \frac{a^n \sum_{k=0}^{a-2} (a-1-k) X^{k \cdot a^n}}{\sum_{k=0}^{a-1} X^{k \cdot a^n}}$

Así que si $|X| > 1$ , obtenemos

\begin{matrix} (*) & \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{a^{norte} \sum_{k = 0}^{a - 2} (a - 1 - k) X^{k \cdot a^{norte}}}{\sum_{k = 0}^{a - 1} X^{k \cdot a^{norte}}} = {PAG}_{0} = \frac{1}{X - 1} . \end{matrix}

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^n \sum_{k=0}^{a-2} (a-1-k) X^{k \cdot a^n}}{\sum_{k=0}^{a-1} X^{k \cdot a^n}} = P_0 = \frac{1}{X-1}. \tag{*}$

Entonces

La primera serie corresponde a $a = 2$ y $X = 2$ aplicado a $\text{(*)}$ .
La segunda serie corresponde a $a = 2$ y $X = 4$ aplicado a la derivada de $\text{(*)}$ bien $X$ .
La 3ra serie corresponde a $a = 3$ y $X = 3$ aplicado a $\text{(*)}$ .

Un bosque · Answer 2

\begin{aligned} \frac{1}{1 - 2} + S_{1} & = \underset{norte \to \infty}{límite} (\frac{1}{1 - 2} + \sum_{norte = 0}^{norte} \frac{2^{norte}}{1 + 2^{2^{norte}}}) \\ = \underset{norte \to \infty}{límite} (\frac{1}{1 - 2} + \frac{1}{1 + 2} + \sum_{norte = 1}^{norte} \frac{2^{norte}}{1 + 2^{2^{norte}}}) \\ = \underset{norte \to \infty}{límite} (\frac{2}{1 - 2^{2}} + \sum_{norte = 1}^{norte} \frac{2^{norte}}{1 + 2^{2^{norte}}}) \\ = \underset{norte \to \infty}{límite} \frac{2^{norte + 1}}{1 - 2^{2^{norte + 1}}} \\ = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{1-2}+S_1&=\lim_{N\to\infty}(\frac{1}{1-2}+\sum_{n=0}^N \frac{2^{n}}{1+2^{2^n}})\\ &=\lim_{N\to\infty}(\frac{1}{1-2}+\frac{1}{1+2}+\sum_{n=1}^N \frac{2^{n}}{1+2^{2^n}})\\ &=\lim_{N\to\infty}(\frac{2}{1-2^2}+\sum_{n=1}^N \frac{2^{n}}{1+2^{2^n}})\\ &=\lim_{N\to\infty}\frac{2^{N+1}}{1-2^{2^{N+1}}}\\ &=0 \end{align}$

\begin{aligned} \frac{1}{(4^{- 2^{- 1}} - 4^{2^{- 1}})^{2}} - S_{2} & = \frac{1}{(4^{- 2^{- 1}} - 4^{2^{- 1}})^{2}} - \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{4^{norte + 2^{norte}}}{(1 + 4^{2^{norte}})^{2}} \\ = \underset{norte \to \infty}{límite} (\frac{1}{(4^{- 2^{- 1}} - 4^{2^{- 1}})^{2}} - \frac{1}{(4^{- 2^{- 1}} + 4^{2^{- 1}})^{2}} - \sum_{norte = 1}^{norte} \frac{4^{norte}}{(4^{- 2^{norte - 1}} + 4^{2^{norte - 1}})^{2}}) \\ = \underset{norte \to \infty}{límite} (\frac{4}{(4^{- 2^{0}} - 4^{2^{0}})^{2}} - \sum_{norte = 1}^{norte} \frac{4^{norte}}{(4^{- 2^{norte - 1}} + 4^{2^{norte - 1}})^{2}}) \\ = \underset{norte \to \infty}{límite} \frac{4^{norte + 1}}{(4^{- 2^{norte}} - 4^{2^{norte}})^{2}} \\ = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{(4^{-2^{-1}}-4^{2^{-1}})^2}-S_2&=\frac{1}{(4^{-2^{-1}}-4^{2^{-1}})^2}-\sum_{n=0}^\infty \frac{4^{n+2^n}}{(1+4^{2^n})^2}\\ &=\lim_{N\to\infty}(\frac{1}{(4^{-2^{-1}}-4^{2^{-1}})^2}-\frac{1}{(4^{-2^{-1}}+4^{2^{-1}})^2}-\sum_{n=1}^N \frac{4^{n}}{(4^{-2^{n-1}}+4^{2^{n-1}})^2})\\ &=\lim_{N\to\infty}(\frac{4}{(4^{-2^{0}}-4^{2^{0}})^2}-\sum_{n=1}^N \frac{4^{n}}{(4^{-2^{n-1}}+4^{2^{n-1}})^2})\\ &=\lim_{N\to\infty}\frac{4^{N+1}}{(4^{-2^{N}}-4^{2^{N}})^2}\\ &=0 \end{align}$

Lo mismo para $S_3$ . Tenga en cuenta que $\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ . Sólo algunos cálculos.

Algunas series infinitas (¡solo por diversión!)

Tintorero Franklin Pezzuti

zhw.

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Sang Chul Lee

Un bosque

Forma cerrada para B=limn→∞∑∞a1=11a21∑a1a2=11a22⋯∑an−1an=11a2nB=limn→∞∑a1=1∞1a12∑a2=1a11a22⋯∑an=1an−11an2B=\lim_{ n\to\infty}\sum_{a_1=1}^{\infty}\frac{1}{a_1^2}\sum_{a_2=1}^{a_1}\frac{1}{a_2^2}\ cdots\sum_{a_n=1}^{a_{n-1}}\frac{1}{a_n^2}?

Demuestre esta identidad utilizando la identidad de producto triple de Jacobi

Demostrando la aproximación de forma cerrada de la relación de recurrencia Xk=kXk−1Xk=kXk−1X_k=\frac{k}{X_{k-1}}

Cómo encontrar la sumatoria de esta serie infinita: ∑∞k=11(k+1)(k−1)!(1−2k)∑k=1∞1(k+1)(k−1)!(1 −2k)\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k+1)(k-1)!}(1 - \frac{2}{k})

Encuentre la forma cerrada de una suma n

Evaluando ∑∞y=a(ya)⋅py−a∑y=a∞(ya)⋅py−a\sum_{y=a}^{\infty}{y \choose a} \cdot p^{ya} para p∈[0,1]p∈[0,1]p \en [0,1]

Suma de los cuadrados inversos de la hipotenusa de los triángulos pitagóricos

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