Suma de los cuadrados inversos de la hipotenusa de los triángulos pitagóricos

Usemos las notaciones de

http://mathworld.wolfram.com/DoubleSeries.html

Fijamos una forma cuadrática binaria definida positiva$q$dada por$q(m,n)=am^2+bmn+cn^2$,$a,b,c$números enteros Usamos sumas sobre el conjunto de índices

$$J=\Bbb Z\times\Bbb Z-\{(0,0)\}\ .$$ Definimos $$\begin{aligned} S(q;s) = S(a,b,c;s) &=\sum_{(m,n)\in J} q(m,n)^{-s}=\sum_{(m,n)\in J} (am^2+bmn+cn^2)^{-s}\ ,\\ S_1(q;s) = S_1(a,b,c;s) &=\sum_{(m,n)\in J} \color{blue}{(-1)^m}\; q(m,n)^{-s}\ ,\\ S_2(q;s) = S_2(a,b,c;s) &=\sum_{(m,n)\in J} \color{blue}{(-1)^n}\; q(m,n)^{-s}\ ,\\ S_{12}(q;s) = S_{12}(a,b,c;s) &=\sum_{(m,n)\in J}\color{blue}{(-1)^{m+n}}\; q(m,n)^{-s}\ . \end{aligned}$$ Las últimas tres sumas son "versiones torcidas" de la primera suma, el "giro" ocurre al usar un carácter para el primer parámetro, para el segundo, para ambos. En nuestro caso,$q(m,n)=m^2 +n^2$, y$(a,b,c)=(1,0,1)$, tenemos un caso simétrico (wrt el intercambio$a\leftrightarrow c$).

dejaremos caer$q$a continuación de las anotaciones en$S_?(q,s)$, ya que usamos solo la forma cuadrática anterior$q$. Decidí durante la operación de edición que debería llevarnos rápidamente a los números que podemos calcular que es mejor para el control introducir las versiones$S^+$para todas las sumas, donde el índice más indica una restricción adicional a$(m,n)\in J$con

$$(+)\qquad m,n>0\ .$$

Desde loc. cit. extraemos las siguientes relaciones:

$$\begin{aligned} S(s) &= \sum_{(m,n)\in J}(m^2+n^2)^{-s} \\ &= 4\beta(s)\;\zeta(s)\ ,\\ %S_1(s) =S_2(s) &= \sum_{(m,n)\in J}(-1)^m(m^2+n^2)^{-s} =\dots %= 2^{-s}b_2(2s) = -2^{-s}\cdot 4\beta(2s)\; \eta(2s) %\ , %\\ S_{12}(s) &= \sum_{(m,n)\in J}(-1)^{m+n}(m^2+n^2)^{-s} \\ &= -4 \beta(s) \;\eta(s)=-4\beta(s) \;(1-2^{1-s})\; \zeta(s)\ . \\[2mm] &\qquad\text{ Then the plus versions are:} \\[3mm] S^+(s) &= \beta(s)\;\zeta(s) - \zeta(2s)\ , \\ -S_{12}^+(s) &= \beta(s)\;\eta(s) - \eta(2s) \\ &= \beta(s)\;(1-2^{1-s})\zeta(s) - (1-2^{1-2s})\zeta(2s)\ , \\ &\qquad \text{ which gives} \\ S^+(s)-S_{12}^+(s) &=2\beta(s)\;(1-2^{-s})\zeta(s) - 2(1-2^{-2s})\zeta(2s)\ . \end{aligned}$$

Ahora busquemos una combinación lineal de las sumas anteriores que correspondan a la suma$q(m,n)^{-s}$sobre el conjunto de$K$de todo$(m,n)$con (componentes con) positivo diferente paridad. Esto es

$$\frac 12(\ S^+(s)-S^+_{12}(s)\ )\ .$$ Hasta aquí podemos escribir: $$\begin{aligned} &\beta(s)\;(1-2^{-s})\zeta(s) - (1-2^{-2s})\zeta(2s) \\ &\qquad=\frac 12(\ S^+(s)-S^+_{12}(s)\ ) \\ &\qquad=\sum_{\substack{(m,n)\in K\\m,n> 0}} q(m,n)^{-s}\\ &\qquad=2\sum_{\substack{(m,n)\in K\\m>n> 0}} q(m,n)^{-s}\\ &\qquad=2\sum_{\substack{(m,n)\in K\\m>n> 0\\ d=(m,n)\text{ odd}}} q(m,n)^{-s}\qquad\text{ and with }M=m/d,\ N=n/d\\ &\qquad=2\sum_{d>0\text{ odd}}d^{-2s} \sum_{\substack{(M,N)\in K\\M>N> 0\\ (M,N)=1}} q(M,N)^{-s}\\ &\qquad= 2(1-2^{-2s})\; \zeta(2s)\; \color{blue}{ \sum_{\substack{(M,N)\in K\\M>N> 0\\ (M,N)=1}} q(M,N)^{-s} } \ . \end{aligned}$$ La suma aislada en la última expresión es la suma que necesitamos, tomémosla por$s=2$.

El valor que obtenemos es:

$$\color{brown}{ \frac{\beta(2)\;\zeta(2)}{2(1+2^{-2})\zeta(4)} -\frac 12\ = \frac{6C}{\pi^2} - \frac 12.}$$

$$\color{brown}{ \frac{\beta(2)\zeta(2)}{2(1+2^{-2})\zeta(4)} - \frac{1}{2} = \frac{6C}{\pi^2} - \frac 1 2.}$$

dónde$C$es la constante catalana. Numéricamente:

sage: E = catalan * zeta(2) / 2 / (1+2^-2) / zeta(4) - 1/2 
sage: E.n()
0.0568403090661582