Encuentre la forma cerrada de una suma n

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Encuentre la forma cerrada de una suma n

suma
Matemáticas
secuencias y series

Martón

Me gustaría encontrar la forma cerrada o una reescritura que converge rápidamente de la siguiente n-sum:

{(\frac{1}{6})}^{norte} \sum_{X_{1} = 1}^{\infty} \sum_{X_{2} = 1}^{\infty} \dots \sum_{X_{norte} = 1}^{\infty} {(\frac{5}{6})}^{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{norte} - norte} * metro a X (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{norte})

$\left(\frac{1}{6}\right)^n\sum_{x_1=1}^\infty\sum_{x_2=1}^\infty\ldots\sum_{x_n=1}^\infty\left(\frac{5}{6}\right)^{x_1+x_2+\ldots+x_n-n}*max(x_1,x_2,\ldots,x_n)$

El problema que surge es cuando tienes n dados de 6 caras, los tiras todos, apartas los 6, tiras el resto, apartas los 6 nuevamente y así sucesivamente hasta que todas las caras de los dados sean 6. Estas sumas son el valor esperado para el número de rondas sucesivas para obtener n 6.

Por suma numérica obtuve $\approx8.727$ para $n=2$ y $\approx10.555$ para $n=3$ pero se está volviendo imposible calcular para n más grandes y converge muy lentamente debido a la larga cola.

Gracias,

Martón

bof

¿Es tu suma igual a

\sum_{r = 0}^{\infty} (1 - (1 - (\frac{5}{6})^{r})^{norte}) ?

$\sum_{r=0}^\infty(1-(1-(\frac56)^r)^n)?$

Martón

Según los valores n = 2,3, es lo mismo, ¿cómo lo obtuviste?

bof

El término

1 - (1 - (\frac{5}{6})^{r})^{n}

$1-(1-(\frac56)^r)^n$ es la probabilidad de que su objetivo de los 6 no se haya logrado en el primer

r

$r$ rondas, por lo que se necesita otra ronda. Estaba pensando en publicar esto como respuesta, pero no es necesario, porque veo que Did actualizó su respuesta para incluir esta fórmula.

Respuestas (1)

Encuentre la forma cerrada de una suma n

¿Es tu suma igual a $\sum_{r = 0}^{\infty} (1 - (1 - (\frac{5}{6})^{r})^{norte}) ?$ $\sum_{r=0}^\infty(1-(1-(\frac56)^r)^n)?$
Según los valores n = 2,3, es lo mismo, ¿cómo lo obtuviste?
El término $1-(1-(\frac56)^r)^n$ es la probabilidad de que su objetivo de los 6 no se haya logrado en el primer $r$ rondas, por lo que se necesita otra ronda. Estaba pensando en publicar esto como respuesta, pero no es necesario, porque veo que Did actualizó su respuesta para incluir esta fórmula.

Hizo · Answer 1

La tecnología de funciones generadoras estándar produce que el $n$ la suma $s_n$ es tal que, cuando $n\to\infty$ ,

\underset{norte \to \infty}{límite} \frac{s_{norte}}{registro norte} = \frac{1}{registro (6 / 5)} \approx 5.485.

$\lim_{n\to\infty}\frac{s_n}{\log n}=\frac1{\log(6/5)}\approx5.485.$ ¿Es este el tipo de resultado que buscas?

Para pequeños valores de $n$ , uno podría usar el valor exacto como una suma finita en el RHS de las identidades

s_{norte} = \sum_{i ⩾ 0} (1 - (1 - (5 / 6)^{i})^{norte}) = \sum_{k = 1}^{norte} (\binom{norte}{k}) (- 1)^{k + 1} \frac{1}{1 - (5 / 6)^{k}} .

$s_n=\sum_{i\geqslant0}\left(1-(1-(5/6)^i)^n\right)=\sum_{k=1}^n{n\choose k}(-1)^{k+1}\frac{1}{1-(5/6)^k}.$ Por ejemplo,

s_{1} = 6

$s_1=6$ ,

s_{2} = \frac{96}{11} \approx 8.73

$s_2=\frac{96}{11}\approx8.73$ ,

s_{3} = \frac{10566}{1001} \approx 10.56

$s_3=\frac{10566}{1001}\approx10.56$ , como usted mencionó, y

s_{4} = \frac{728256}{61061} \approx 11.93

$s_4=\frac{728256}{61061}\approx11.93$ ,

s_{5} = \frac{3698650986}{283994711} \approx 13.02

$s_5=\frac{3698650986}{283994711}\approx13.02$ ,

s_{6} \approx 13.94

$s_6\approx13.94$ ,

s_{7} \approx 14.72

$s_7\approx14.72$ , y así sucesivamente ...

Para valores medianos de $n$ , una fórmula más eficiente sería

s_{norte} = 1 + \sum_{k = 1}^{norte} (\binom{norte}{k}) (- 1)^{k + 1} \frac{5^{k}}{6^{k} - 5^{k}} .

$s_n=1+\sum_{k=1}^n{n\choose k}(-1)^{k+1}\frac{5^k}{6^k-5^k}.$

Gracias, pero estoy más interesado en los valores exactos para el comportamiento límite de n bajo.
Para cada variable aleatoria de valor entero no negativo $T$ , $mi (T) = \sum_{i ⩾ 0} PAG (T > i) .$ $E(T)=\sum_{i\geqslant0}P(T\gt i).$ Aquí, $[T\leqslant i]$ significa que $i$ los sorteos fueron suficientes para obtener un seis en cada uno de los $n$ dado. Lo que no sucede en un dado dado con probabilidad $p^i$ , por lo tanto sucede en todos los dados con probabilidad $P(T\leqslant i)=(1-p^i)^n$ con $p$ igual a lo que supones... et voilà!

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Martón

bof

Martón

bof

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Hizo

Martón

Hizo

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