Solución a la ecuación de Klein-Gordon: condición de campo real y otras cuestiones

Perdón por la extensión de la pregunta, casi todo el texto es la derivación estándar de la solución de la ecuación de KG que incluí para ilustrar mis dudas, y algunas preguntas están al final. La ecuación de Klein-Gordon es

$$(\partial^2+m^2)\phi(x)=0\tag{1}$$ dónde$\partial^2=\partial_\mu\partial^\mu$. Tomando una transformada de Fourier de$\phi$

$$\phi(x)=\int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4}\phi(k)e^{ikx} \tag{2}$$

e insertándolo en la ecuación tenemos

$$\int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4}(k^2-m^2)\phi(k)e^{ikx}=0\tag{3}$$

lo que implica

$$(k^2-m^2)\phi(k)=0 \implies \phi(k)=2\pi f(k)\delta(k^2-m^2) \tag{4}$$

para alguna funcion$f$. Definir$\omega=\sqrt{\mathbf{k}^2+m^2}$dónde$k=(k_0, \mathbf{k}$), entonces

$$\delta(k^2-m^2)=\frac{1}{2\omega}\left[\delta(k_0-\omega)+\delta(k_0+\omega)\right]\tag{5}$$

Y nuestra solución se convierte en

$$\phi(x)=\int \frac{d^4 k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega}\left[\delta(k_0-\omega)+\delta(k_0+\omega)\right]f(k)e^{ikx}\tag{6}$$

realizando la integración en$k_0$

$$\phi(x)=\int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega}(f(\omega,\mathbf{k})e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}+i\omega t}+f(-\omega,\mathbf{k})e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-i\omega t})\tag{7}$$

En el segundo término, podemos cambiar de variable$\mathbf{k}\rightarrow-\mathbf{k}$y obten

$$\phi(x)=\int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega}(f(\omega,\mathbf{k})e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}+i\omega t}+f(-\omega,-\mathbf{k})e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-i\omega t})\tag{8}$$

Ahora: todas las fuentes que puedo encontrar continúan e imponen que el campo debe ser real, y escriben algo como

$$\phi(x)=\int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega}(a(\omega,\mathbf{k})e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}+i\omega t}+a^\dagger(\omega,\mathbf{k})e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-i\omega t})\tag{9}$$

y esto se presenta como la "solución general a la ecuación de Klein-Gordon"

Preguntas:

1. ¿Por qué debemos imponer que el campo es real, es decir$f(-\omega, -\mathbf{k})=f(\omega, \mathbf{k})^\dagger$? No veo ninguna razón matemática para hacerlo, y no veo por qué un campo complejo plantearía problemas físicos. Conozco la interpretación del oscilador armónico, pero diría que esta interpretación es consecuencia del hecho de que el campo es real y no al revés. ¿Por qué eliminamos soluciones de campo complejas?

2. son los$2\pi$factores importantes? en ecuacion$(4)$Introduje un factor$2\pi$solo para que la solución final coincida con la dada en las fuentes estándar, pero nuevamente, no veo otra razón para agregarla (en realidad, todo "la solución debe ser una función multiplicada por delta" es un poco incompleto, cómo ¿mira esto?)

3. Algunos dan la solución con$\sqrt{\omega}$en lugar de$\omega$en el denominador (Peskin & Schroeder por ejemplo) en analogía con el oscilador armónico. Para tratar de conseguir esto, pensé en definir$a(\omega,k)=\sqrt{\omega}f(\omega,k)$en lugar de$a(\omega,k)=f(\omega,k)$. ¿Esto tiene sentido? ¿Las dos soluciones tienen alguna diferencia física?