Campo escalar real: ¿en qué sentido son completos los modos de Minkowski?

Al considerar un campo escalar real con Lagrangian

$$\mathcal{L} = - \frac{1}{2}(\partial_{\mu} \phi)(\partial^{\mu} \phi) - \frac{1}{2}m^2\phi^2$$ la ecuación de movimiento es la ecuación de Klein-Gordon $(\Box_{x} - m^2) \phi(x)=0$.

En textos sobre QFTs en espaciotiempos curvos la cuantización del campo$\phi$se realiza sumando los modos de Minkowski$\{ u_{\mathbf{k}} \}_{\mathbf{k} \in \mathbb{R}^3}$(los modos de frecuencia positiva) y$\{ u^{\ast}_{\mathbf{k}} \}_{\mathbf{k} \in \mathbb{R}^3}$(los modos de frecuencia negativa) que son soluciones de onda plana a la ecuación KG etiquetada por el tres-momento$\mathbf{k} \in \mathbb{R}^3$:

$$u_{\mathbf{k}}(x) \ = \ u_{\mathbf{k}}(x^0,\mathbf{x}) \ = \ \left( (2\pi)^3 2 \sqrt{ |\mathbf{k}|^2 + m^2 } \right)^{-\frac{1}{2}} e^{ - i \sqrt{ |\mathbf{k}|^2 + m^2 }\ x^0 + i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x} }$$ Los modos de Minkowski tienen normalizaciones. $\left( (2\pi^3) 2 \sqrt{ |\mathbf{k}|^2 + m^2 } \right)^{-\frac{1}{2}}$porque están normalizados con respecto al producto interno de Klein-Gordon, definido para cualquier función de valores complejos $f,g$como $$\langle f,g\rangle = i \int_{\Sigma} d^{3}\mathbf{x} \ \left[ f^{\ast}(x) \frac{\partial g}{\partial x^0} - \frac{\partial f^{\ast}}{\partial x^0} g(x) \right]$$

Dónde$\Sigma$es una hipersuperficie 3D de tiempo constante$x^0$(debido a que la función que se está integrando es una corriente conservada, se deduce que el valor de$\langle f,g\rangle$es independiente de la elección de$\Sigma$utilizado para integrarlo). Los modos de Minkowski se normalizan de tal manera que:

$$\langle u_{\mathbf{k}}, u_{\mathbf{p}} \rangle = \delta(\mathbf{k} - \mathbf{p}) \\ \langle u_{\mathbf{k}}, u^{\ast}_{\mathbf{p}} \rangle = 0 \\ \langle u^{\ast}_{\mathbf{k}}, u^{\ast}_{\mathbf{p}} \rangle = - \delta(\mathbf{k} - \mathbf{p})$$

En este punto, los textos a menudo dirán que los modos de Minkowski están completos , razón por la cual podemos expandir el campo escalar$\phi$como$\phi(x) = \sum u_{\mathbf{k}}(x) a_{\mathbf{k}} + u^{\ast}_{\mathbf{k}}(x) a^{\dagger}_{\mathbf{k}}$y luego cuantificar$a_{\mathbf{k}}$y$a_{\mathbf{k}}^{\dagger}$, etcétera.

Mi pregunta: ¿Qué significa precisamente que los modos de Minkowski estén completos aquí?

Todos los textos parecen pasar por alto este punto. Quiero decir que debe haber una relación de completitud$\sum_{\mathbf{k}} u^{\ast}_{\mathbf{k}}(x)u_{\mathbf{k}}(y)$que es proporcional a cualquiera$\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y})$o tal vez$\delta^{(4)}(x - y)$pero esto no parece ser cierto. Ni siquiera estoy seguro de cuál es el espacio vectorial que está completo aquí.

EDITAR 1: Estoy trabajando en coordenadas Minkowski rectangulares ordinarias (espacio plano) con métrica$\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1,+1,+1,+1)$. Estoy interesado en cómo construir los modos en este caso más simple (los textos de espacio-tiempo curvos luego generalizan este procedimiento a variedades arbitrarias)

EDICIÓN 2: Supongo que la forma de comprender la integridad aquí es algo similar a lo que haría en QM. Si$\{ |n\rangle \}_{n=1}^{N}$es un conjunto completo de estados para algunos$N$espacio de Hilbert -dimensional$\mathcal{H}$, entonces nosotros tenemos$\sum_{n=1}^N |n\rangle\langle n| = \mathbb{I}_{N\times N}$, que permite la expansión de un estado arbitrario$|\psi\rangle$como$|\psi\rangle = \sum_{n=1}^N \langle n|\psi\rangle |n\rangle$. La expansión hecha en el campo$\phi(x)$es exactamente$\phi(x) = \int d^3\mathbf{k}\ \big[ u_{\mathbf{k}}(x) a_{\mathbf{k}} + u^{\ast}_{\mathbf{k}}(x) a_{\mathbf{k}}^{\dagger} \big]$, dónde$a_{\mathbf{k}}=\langle u_{\mathbf{k}}, \phi\rangle$y$a^{\dagger}_{\mathbf{k}}=\langle u^{\ast}_{\mathbf{k}}, \phi\rangle$.