Expansión de campo en Peskin & Schroeder

Question

Expansión de campo en Peskin & Schroeder

Física
convenciones
evolución del tiempo
Transformada de Fourier
teoría cuántica de campos
ecuación de klein-gordon

Okazaki

Peskin y Schroeder afirman algo que no entiendo completamente. Más específicamente, creo que está redactado de una manera que no entiendo.

En la imagen de Schrödinger podemos expandir el campo escalar real $\phi(x)$ que satisface la ecuación de Klein-Gordon como

ϕ (X) = \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 {mi}_{pag}}} (a_{pag} {mi}^{i píxeles} + a_{pag}^{†} {mi}^{- i píxeles}) .

$\phi(\textbf{x})=\displaystyle\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_p}}(a_pe^{i\textbf{p.x}}+a_p^\dagger e^{-i\textbf{p.x}}).$

Entonces, por supuesto, encontramos $\phi(x)=\phi(\textbf{x},t)$ cambiando a la imagen de Heisenberg.

Ahora, en la página 83 dicen

En cualquier momento fijo $t_0$ por supuesto que podemos ampliar $\phi$ en términos de operadores de escalera
$ϕ (X, t_{0}) = \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 {mi}_{pag}}} (a_{pag} {mi}^{i píxeles} + a_{pag}^{†} {mi}^{- i píxeles}) .$ $\phi(\textbf{x},t_0)=\displaystyle\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_p}}(a_pe^{i\textbf{p.x}}+a_p^\dagger e^{-i\textbf{p.x}}).$ Entonces para obtener $\phi(\textbf{x},t)$ para $t\neq t_0$ simplemente cambiamos a la imagen de Heisenberg $ϕ (X, t) = {mi}^{i H (t - t_{0})} ϕ (X, t_{0}) {mi}^{- i H (t - t_{0})} .$ $\phi(\textbf{x},t)=e^{iH(t-t_0)}\phi(\textbf{x},t_0)e^{-iH(t-t_0)}.$

El primer problema es que dicen que cambiamos a la imagen de Heisenberg, lo que implica que, para empezar, estábamos en la imagen de Schrödinger. Pero entonces, ¿cómo puede el $\phi$ ser dependiente del tiempo, es decir, ¿por qué depende de $t_0$ , a pesar de $t_0$ no aparece en ninguna parte de la expansión?

¿Están diciendo algo torpemente que $\phi$ ¿No es (obviamente) independiente del tiempo en la imagen de Schrödinger, elegimos un segmento de tiempo determinado (donde nuestros estados ahora son fijos en el tiempo) y luego el tiempo evoluciona desde allí? No debería importar ya que me imagino que deberíamos tener $\phi(t_0)=\phi(t')$ para otro momento $t'$

gentil

Lo que Peskin y Schroeder llaman al operador en

t_{0}

$t_0$ es en realidad el operador en

t_{0} = 0

$t_0=0$ , y es por eso que no ves ninguna dependencia del tiempo (lo evalúas en

t_{0} = 0

$t_0=0$ ); el libro continúa este mal uso de la terminología también más adelante, y es un error. Sobre el resto: los campos siempre deben entenderse en la imagen de Heisenberg, porque son operadores y no elementos de un espacio de Fock (sobre el que actúan en cambio); como tal, no hay una imagen de Schrödinger y esta es una de esas otras cosas en las que Peskin y Schroeder están equivocados.

Bosoneando

@GennaroTedesco

t_{0} = 0

$t_0 = 0$ no tiene nada especial. Puedes evaluar en

t_{0} = 100

$t_0= 100$ s o

t_{0} = 57168.12

$t_0 = 57168.12$ o cualquiera

t_{0}

$t_0$ que quieras, pero tiene que ser un tiempo fijo. Y cualquier operador puede estar en la imagen de Schrödinger (constante) o en la imagen de Heisenberg o en la imagen de interacción (en ambos casos depende del tiempo), solo hay que hacer una transformada unitaria para cambiar entre ellos.

gentil

@Bosoneando

t_{0} = 0

$t_0=0$ tiene algo especial, a saber, la exponencial

e^{- i k_{0} t}

$\textrm{e}^{-ik_0t}$ se convierte

1

$1$ y por lo tanto ya no lo ves en la expansión. Si elige cualquier otro momento, no puede deshacerse de dicho término en la fórmula. Esta es precisamente la razón por la que comienzas desde el campo en

t = 0

$t=0$ y luego evalúe los tiempos posteriores usando el

U (t, 0)

$U(t,0)$ .

Okazaki

@GennaroTedesco De hecho, basado en las otras cosas en Peskin, en particular, la ecuación 2.47, que es el campo en la imagen de Heisenberg. La única forma en que esto concuerda con la imagen de Schrödinger es con t=0.

Respuestas (1)

Expansión de campo en Peskin & Schroeder

Lo que Peskin y Schroeder llaman al operador en $t_0$ es en realidad el operador en $t_0=0$ , y es por eso que no ves ninguna dependencia del tiempo (lo evalúas en $t_0=0$ ); el libro continúa este mal uso de la terminología también más adelante, y es un error. Sobre el resto: los campos siempre deben entenderse en la imagen de Heisenberg, porque son operadores y no elementos de un espacio de Fock (sobre el que actúan en cambio); como tal, no hay una imagen de Schrödinger y esta es una de esas otras cosas en las que Peskin y Schroeder están equivocados.
@GennaroTedesco $t_0 = 0$ no tiene nada especial. Puedes evaluar en $t_0= 100$ s o $t_0 = 57168.12$ o cualquiera $t_0$ que quieras, pero tiene que ser un tiempo fijo. Y cualquier operador puede estar en la imagen de Schrödinger (constante) o en la imagen de Heisenberg o en la imagen de interacción (en ambos casos depende del tiempo), solo hay que hacer una transformada unitaria para cambiar entre ellos.
@Bosoneando $t_0=0$ tiene algo especial, a saber, la exponencial $\textrm{e}^{-ik_0t}$ se convierte $1$ y por lo tanto ya no lo ves en la expansión. Si elige cualquier otro momento, no puede deshacerse de dicho término en la fórmula. Esta es precisamente la razón por la que comienzas desde el campo en $t=0$ y luego evalúe los tiempos posteriores usando el $U(t,0)$ .
@GennaroTedesco De hecho, basado en las otras cosas en Peskin, en particular, la ecuación 2.47, que es el campo en la imagen de Heisenberg. La única forma en que esto concuerda con la imagen de Schrödinger es con t=0.

qmecanico · Answer 1

qmecanico

El resultado es que necesitamos una condición para especificar cómo se conectan los operadores en la imagen de Schrödinger y Heisenberg . Esto generalmente se hace declarando que las dos imágenes concuerdan en algún instante fijo. $t_0$ .

Para resumir: El operador de Schrödinger $\phi(\textbf{x},t_0)$ no depende del tiempo $t$ , mientras que el operador de Heisenberg $\phi(\textbf{x},t)$ depende del tiempo $t$ . Para kets y bras es al revés.

gentil

Decir que el operador en el momento

t_{0}

$t_0$ no depende del tiempo esta mal. Por supuesto que sí, pero la dependencia se oculta después de integrar el

k_{0}

$k_0$ variable y expresar todo en términos de la energía. Además, esto es cierto solo para el campo libre, porque los conmutadores de los operadores de escalera son independientes del tiempo en este caso (lo que no es cierto para ningún otro campo no libre).

Okazaki

@Qmechanic Creo que la notación puede ser deficiente. ¿Puedo definir

ϕ^{S} (x) = ϕ (t_{0}, x)

$\phi^{S}(\textbf{x})=\phi(t_0,\textbf{x})$ y luego expandir

ϕ^{S} (x)

$\phi^{S}(\textbf{x})$ en términos de operadores de escalera? Esto daría la expansión en Peskin y al definir

ϕ^{H} (x, t) = e^{i H (t - t_{0})} ϕ^{S} (x) e^{- i H (t - t_{0})}

$\phi^{H}(\textbf{x},t)=e^{iH(t-t_0)}\phi^{S}(\textbf{x})e^{-iH(t-t_0)}$ todo estaría de acuerdo.

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gentil

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gentil

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Okazaki

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