¿Por qué usar la expansión de Fourier en la teoría cuántica de campos?

Acabo de empezar a estudiar la teoría cuántica de campos y estoy siguiendo el libro de Peskin y Schroeder para eso. Entonces, mientras cuantificamos el campo de Klein Gordon, expandimos el campo con Fourier y luego trabajamos solo en el espacio de momento. ¿Cuál es la necesidad de esta expansión?

En primer lugar: en la vida real (aceleradores), no te interesan los observables de la forma < ϕ ( X 1 ) ϕ ( X 2 ) ϕ ( X 3 ) > etc. sino en amplitudes de dispersión en términos de momentos entrantes < ϕ ( pags 1 ) … > . Además, es mucho más intuitivo: puede 'ver' el flujo de momento a través de los propagadores hacia los vértices y relacionar los momentos (a través de las variables de Mandelstam) con las masas de las partículas que está dispersando.
@Vibert, (+1)!, ¿Por qué no escribes eso como respuesta?
No puedo publicar esto como una pregunta, estaría [CERRADO] pero, ¿por qué Peskin & Schroeder? tiene anotaciones tan horribles? Por ejemplo, usan el punto de Newton para la derivada con respecto a X 0 , eso pasa a ser t solo si está utilizando la firma (+---) pero luego tiene problemas de introducción si trabaja con (-+++) y deriva felizmente con respecto a t porque recuerdas haber visto el punto en Peskin... Supongo que es un tema de principiante pero, como tal, estoy encontrando a Srednicki más útil y claro...
Me siento más cómodo con el signo (+---). He realizado cursos de mecánica cuántica relativista y teoría clásica de campos en esta firma. Leí peskin porque lo encontré bastante elaborado y los problemas al final del capítulo son muy divertidos de resolver.
Por supuesto, srednicki también es un libro brillante. Leí un poco al principio. Pero hay tantos libros que uno puede leer. También me refiero a las notas de clase de sidney coleman ya los videos de david tong.

Respuestas (3)

Las ecuaciones libres son lineales, por lo que las exponenciales son sus soluciones. Así construimos una superposición lineal de exponenciales para abarcar un caso general.

Se supone que las interacciones cambian las amplitudes de ondas particulares en estas superposiciones.

En primer lugar, esto es solo un cambio de base, que depende de nosotros. Además, siempre debemos elegir una base que facilite nuestros cálculos y, con suerte, haga las cosas más intuitivas. Para un ejemplo más simple, simplemente intente encontrar el volumen de una esfera en coordenadas cartesianas, es solo una mala elección.

En segundo lugar, no tiene que usar una base de Fourier, que yo sepa, todo, la renormalización de bucles, etc., se puede hacer en una base de posición.

Ahora, en cuanto a por qué la base de Fourier es una opción conveniente:

(1) Simplifica los términos derivados en el lagrangiano; como de costumbre, la base de Fourier convierte las expresiones derivadas en expresiones algebraicas, que son mucho más fáciles de manipular.

(2) Es más intuitivo: escritas en términos de una base de Fourier, las reglas de Feynman están en términos de impulso. Entonces, por ejemplo, en los vértices se conserva el impulso: es solo una forma agradable y ordenada de pensar en lo que sucede en el vértice.

(3) Incluso si comienza en el espacio de posición, un método para hacer las integrales que encontrará al escribir sus expresiones de ciclo será ir al espacio de impulso, por lo que debe eliminar este paso desde el principio.

(4) (siguiendo el comentario de Vibert) Las ondas planas son la base en la que hacemos el experimento. Es decir, enviamos paquetes de ondas muy localizados en el espacio p, es decir, esta es la solución exacta alrededor de la que perturbamos.

Creo que también es importante enfatizar el significado físico de los modos de Fourier en el contexto de QFT. Los modos de Fourier a † ( k ) y a ( k ) en el contexto del campo de Klein-Gordon cuantificado, por ejemplo, crear y destruir partículas con impulso k respectivamente. Es decir, si | ∅ ⟩ es el vacío de la teoría, entonces

a † ( k ) | ∅ ⟩
da un estado con una sola partícula de impulso k , y más generalmente
a † ( k 1 ) a † ( k 2 ) ⋯ a † ( k norte ) | ∅ ⟩
representa un estado con norte partículas con momento k 1 , k 2 , … , k norte respectivamente.

¿Estás seguro de que esto también es cierto para | 0 ⟩ en una teoría interactiva (renormalizada)?
Es por eso que especifiqué "en el contexto del campo de Klein-Gordon cuantizado", que se refiere a un escalar libre.
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