Resolviendo la ecuación de Klein-Gordon a través de la transformada de Fourier

si en cada momento$t$,$\phi(\mathbf{x},t)$es una función lo suficientemente agradable que tiene una transformada de Fourier, entonces

$$\phi(\mathbf{x},t)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d^{3}k}{(2\pi)^{3}}\widetilde{\phi}(\mathbf{k},t)e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}},$$ dónde $\widetilde{\phi}(\mathbf{k},t)$es solo el coeficiente de Fourier en ese momento $t.$

Pero ahora pides que toda la función$\phi(\mathbf{x},t)$(en todo momento) sea una solución a la ecuación de Klein-Gordon. Lo que significa que la función en diferentes momentos necesita tener las derivadas correctas. Si en todo momento hay una transformada de Fourier, entonces hay coeficientes de Fourier en todo momento. Entonces, si la onda evoluciona de cierta manera en el tiempo, entonces los coeficientes de Fourier deben tener valores en diferentes momentos y deben ser los correctos para que la onda tenga las derivadas temporales correctas.

Bien, entonces la ecuación de Klein-Gordon es de segundo orden para que podamos encontrar la función inicial$\phi(\mathbf{x},t=0)$y su transformada de Fourier, llámese$\theta(\mathbf{k})$y podemos tomar la derivada temporal inicial$\partial_t \phi(\mathbf{x},t)\big\vert_{t=0}$y es la transformada de Fourier, llámalo$\omega(\mathbf{k}).$Entonces conocemos los coeficientes de Fourier iniciales y conocemos sus derivadas y la segunda derivada se aplica para que satisfaga la ecuación de Klein-Gordon, entonces

$\widetilde{\phi}(\mathbf{k},t)=\theta(\mathbf{k})\cos(E_kt) + \frac{1}{E_k}\omega(\mathbf{k})\sin(E_kt).$

¿Por qué? Porque tiene los valores iniciales correctos y la derivada temporal inicial correcta y satisface la ecuación de Klein-Gordon cuando$E_k=\sqrt{m^2+k^2}.$

Así que en cada momento tenemos los coeficientes de Fourier de nuestra onda. Están diseñados para que las funciones satisfagan la ecuación de Klein-Gordon cuando los coeficientes de Fourier evolucionan en el tiempo según una ecuación de segundo orden.

Puede que haya entendido mal tu pregunta. Pero la idea es que a partir de la onda inicial y la derivada temporal inicial de la onda obtengas suficientes condiciones iniciales para conocer los coeficientes de Fourier iniciales y la tasa de cambio de tiempo inicial de los coeficientes de Fourier, que es toda la libertad que tienes. El resto se determina que los coeficientes de Fourier tienen que evolucionar temporalmente de una forma determinada para que la onda evolucione de una forma determinada temporalmente.

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En cada momento obtienes una transformada de Fourier. Y luego te preguntas cómo esos coeficientes de Fourier dependen (en el tiempo) unos de otros. Para que la onda evolucione en el tiempo según una ecuación de segundo orden, la transformada de Fourier debe evolucionar en el tiempo según una ecuación de segundo orden. Pero la transformación logra hacer una evolución puntual que es más simple y es por eso que lo hacemos.

Cuando toma la transformada de Fourier en cada momento, obtiene una transformada de Fourier en cada momento, por lo que obtiene un$\widetilde{\phi}(\mathbf{k},t)$eso es en sí mismo una función del tiempo. entonces tiene una derivada parcial$\partial_t \widetilde{\phi}(\mathbf{k},t)\neq 0.$

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Digamos que queremos resolver

$$\left(\partial_t^2-\nabla^2+m^2\right)\phi=.0$$ Empezamos por señalar que $\left(A_ke^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}+B_ke^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\right)\cos(t\sqrt{m^2+k^2})$y $\frac{\left(C_ke^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}+D_ke^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\right)}{\sqrt{m^2+k^2}}\sin(t\sqrt{m^2+k^2})$son ambas soluciones para cualquier $\mathbf{k},$cualquier $A_k, B_k$y cualquier $C_k, D_k$.

Excelente.

Y la primera solución tiene tasa de cambio de tiempo cero en$t=0$y el segundo tiene valor cero en$t=0.$Entonces, si nuestra ola inicial fuera$\phi(\mathbf{x},t=0)=3\cos(3x)$y tenía una tasa de cambio de tiempo inicial igual a$\partial_t\phi(\mathbf{x},t)\big\vert_{t=0}=4\cos(2y)$entonces sabemos exactamente cuál es la solución a$\left(\partial_t^2-\nabla^2+m^2\right)\phi=0$es:

$$\phi(\mathbf{x},t)=3\cos(3x)\cos(t\sqrt{m^2+3^2})+\frac{4}{\sqrt{m^2+2^2}}\cos(2y)\sin(t\sqrt{m^2+2^2}).$$

Y cualquier combinación lineal finita de$e^{\pm i\mathbf k \cdot \mathbf x}$por el valor inicial$\phi(\mathbf{x},t=0)$es tan fácilmente manejable al tener una combinación lineal finita de soluciones como$e^{\pm i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\cos(t\sqrt{m^2+k^2}).$Y de manera similar, si la tasa de cambio de tiempo inicial$\partial_t\phi(\mathbf{x},t)\big\vert_{t=0}$es una combinación lineal finita de$e^{\pm i\mathbf k \cdot \mathbf x}$luego agregamos términos que son una combinación lineal finita de$\frac{e^{\pm i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}}{\sqrt{m^2+k^2}}\sin(t\sqrt{m^2+k^2}).$

Todo lo que estamos haciendo es tomar soluciones y sumarlas en combinaciones que nos dan los valores iniciales correctos y la tasa de cambio de tiempo inicial correcta. Y es súper fácil si las condiciones iniciales resultan ser una combinación lineal finita de senos y cosenos.

Pero espera. ¿Qué pasa si en lugar de ser una combinación lineal finita de términos como$e^{\pm i\mathbf k \cdot \mathbf x}$la condición inicial era solo una función que tiene una transformada de Fourier? Entonces puedes intentar lo mismo. Escribe tu valor inicial$\phi(\mathbf{x},t=0)$y su tasa de cambio de tiempo inicial$\partial_t\phi(\mathbf{x},t)\big\vert_{t=0}$como transformadas inversas de Fourier de senos y cosenos espacialmente. A continuación, reemplace un espacio$\sin(\mathbf k \cdot \mathbf x)$con la función$\sin(\mathbf k \cdot \mathbf x)\cos(t\sqrt{m^2+k^2})$y reemplazar la función espacial$\cos(\mathbf k \cdot \mathbf x)$con la función$\cos(\mathbf k \cdot \mathbf x)\cos(t\sqrt{m^2+k^2}).$¿Por qué? Porque cada uno de ellos satisface la ecuación de Klein-Gordon. Y así para$t=0$la transformada inversa de Fourier será el valor inicial de la onda$\phi(\mathbf{x},t=0).$Así que estás tomando un$t=0$Transformada espacial de Fourier de$\phi(\mathbf{x},t=0)$luego reemplazando cada componente espacial de Fourier$e^{\pm i \mathbf k \cdot \mathbf x}$con$e^{\pm i \mathbf k \cdot \mathbf x}\cos(t\sqrt{m^2+k^2}).$Esto resuelve la ecuación de Klein-Gordon, tiene los valores iniciales correctos y tiene$\partial_t\phi(\mathbf{x},t)\big\vert_{t=0}=0.$

Luego, tome su tasa de cambio de tiempo inicial$\partial_t\phi(\mathbf{x},t)\big\vert_{t=0}$como una transformada inversa de Fourier de senos y cosenos espacialmente. A continuación, reemplace un espacio$\sin(\mathbf k \cdot \mathbf x)$con la función$\frac{\sin(\mathbf k \cdot \mathbf x)}{\sqrt{m^2+k^2}}\sin(t\sqrt{m^2+k^2})$y reemplazar la función espacial$\cos(\mathbf k \cdot \mathbf x)$con la función$\frac{\cos(\mathbf k \cdot \mathbf x)}{\sqrt{m^2+k^2}}\sin(t\sqrt{m^2+k^2}).$¿Por qué? Porque cada uno de ellos satisface la ecuación de Klein-Gordon. y sin embargo por$t=0$si toma la transformada de Fourier espacial inversa, obtiene una función que tiene valor cero en$t=0$y tiene una tasa de cambio de tiempo inicial que es igual a$\partial_t\phi(\mathbf{x},t)\big\vert_{t=0}$de la ola$\phi(\mathbf{x},t=0).$

¿Por qué tener dos soluciones? Porque este segundo también resuelve la ecuación de Klein-Gordon y tiene un valor inicial de cero pero tiene una tasa de cambio de tiempo inicial que es igual a$\partial_t\phi(\mathbf{x},t)\big\vert_{t=0}.$Y el primero resuelve la ecuación de Klein-Gordon, tiene un valor inicial que es igual$\phi(\mathbf{x},t=0)$y tiene una tasa de cambio de tiempo inicial cero.

Entonces, si suma esas dos soluciones, obtiene una función que (1) resuelve la ecuación de Klein-Gordon (2) tiene el valor inicial correcto y (3) tiene la tasa de cambio de tiempo inicial correcta. Eso es lo que querías todo el tiempo.

Si entiendes que cuando la ola inicial fue$\phi(\mathbf{x},t=0)=3\cos(3x)$y tenía una tasa de cambio de tiempo inicial igual a$\partial_t\phi(\mathbf{x},t)\big\vert_{t=0}=4\cos(2y)$entonces la solución fue$\left(\partial_t^2-\nabla^2+m^2\right)\phi=0$es:

$$\phi(\mathbf{x},t)=3\cos(3x)\cos(t\sqrt{m^2+3^2})+\frac{4}{\sqrt{m^2+2^2}}\cos(2y)\sin(t\sqrt{m^2+2^2}).$$ Si entiendes eso, entonces todo lo demás es la misma idea aplicada a combinaciones lineales finitas e "infinitas" de $e^{\pm i \mathbf k \cdot \mathbf x}$para las condiciones iniciales.