Cuantificación de campo de Klein Gordon: ¿por qué esta es la forma correcta de expresar el campo?

Estoy leyendo un libro en QFT y lo primero que se aborda es la cuantización del campo de Klein Gordon. El campo clásico de Klein Gordon satisface la ecuación diferencial parcial

$$(\partial^\mu\partial_\mu+m^2)\phi=0 \Longrightarrow (\partial_t^2-\nabla^2+m^2)\phi=0.$$

Tomando la transformada de Fourier obtenemos

$$(\partial_t^2+\omega_p^2)\hat{\phi}=0,$$

donde ahora$\omega_p^2 = p^2+m^2$. En otras palabras$\hat{\phi}(p,t)$satisface la ecuación de movimiento del oscilador armónico simple para cada$p$. En este caso tenemos

$$\phi(x,t)=\int d^3p \dfrac{1}{(2\pi)^3}\hat{\phi}(p,t)e^{ix\cdot p}.$$

Eso está bien, y es todo clásico. Ahora, queremos cuantizar el campo. Como explica el libro, cuantificar el campo significa promover$\phi(\mathbf{x},t)$a un operador, tal que

$$[\phi(\mathbf{x}),\phi(\mathbf{y})]=[\pi(\mathbf{x}),\pi(\mathbf{y})]=0,$$

$$[\phi(\mathbf{x}),\pi(\mathbf{y})]=(2\pi)^3\delta(\mathbf{y}-\mathbf{x}).$$

de la misma forma que lo hacemos con la posición$X$y el impulso$P$en mecánica cuántica.

Ahora, para hacer esto, el autor usa los operadores de escalera del oscilador armónico cuántico. En ese caso si$X$y$P$son la posición y el momento, los operadores de escalera satisfacen

$$X=\dfrac{1}{\sqrt{2\omega}}(a+a^\dagger), \quad P=-i\sqrt{\dfrac{\omega}{2}}(a-a^\dagger).$$

El autor por analogía con esto, luego dice que

$$\phi(x)=\int d^3p \dfrac{1}{(2\pi)^3}\dfrac{1}{\sqrt{2\omega_p}}(a_pe^{ix\cdot p}+a_p^\dagger e^{-ix\cdot p})$$ $$\pi(x)=\int d^3p \dfrac{1}{(2\pi)^3}(-i)\sqrt{\dfrac{\omega_p}{2}}(a_pe^{ix\cdot p}-a_p^\dagger e^{-ix\cdot p})$$

Ahora bien, esto no me queda nada claro. Mis principales problemas son:

1. Primero, ¿qué lleva a esta expansión del campo cuantificado?$\phi$? Quiero decir, supongo que el autor consideró$\hat{\phi}(p)$se comporta como la coordenada de un oscilador armónico, por lo que podemos escribir$\hat{\phi}(p)$en términos de operadores de escalera$a_p$y$a_p\dagger$. Sin embargo, si se hace eso, obtendríamos

$$\phi(x)=\int d^3p \dfrac{1}{(2\pi)^3}\dfrac{1}{\sqrt{2\omega_p}}(a_p+a_p^\dagger)e^{ix\cdot p}$$

Esta sería la analogía en mi opinión, donde establecemos$\hat{\phi}(p)$como la posición del oscilador armónico. ¿Por qué conseguimos$(a_p e^{ix\cdot p}+a_p^\dagger e^{-ix\cdot p})$¿en cambio?

2. Si esta analogía se lleva a cabo, ¿por qué$\hat{\pi}(p)$Cuál sería el impulso del oscilador armónico? No veo ninguna razón para esto directamente por la ecuación diferencial.