¿Por qué no se utilizan cuatro vectores en la definición de un campo cuántico de Klein-Gordon?

Como mencioné en los comentarios, P&S están trabajando en la imagen de Schrödinger, lo que significa que los campos del operador son independientes del tiempo. Por supuesto, en la imagen de Heisenberg, la solución de la ecuación de Klein-Gordon depende del tiempo (y entonces tendrá cuatro vectores). Para ver esto, escribamos la ecuación de Klein-Gordon:

$$\begin{equation} \left(\partial^2 + m^2 \right) \phi(x)=0 \end{equation}$$ dónde $g=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$. Entonces las soluciones en la imagen de Heisenberg se pueden escribir como: $$\begin{equation} \phi(x) = e^{\pm i p_\mu x^\mu} \end{equation}$$ que se puede comprobar fácilmente: $$\begin{equation} \begin{aligned} \partial^2 \phi & = \partial_\mu \partial^\mu \left(e^{\pm i p_\nu x^\nu}\right) \\& = \partial_\mu \left(\pm i p^\mu\right) \left(e^{\pm i p_\nu x^\nu}\right) \\& = \left(\pm i p^\mu\right) \left(\pm i p_\mu\right) e^{\pm i p_\nu x^\nu} \\& = - p_\mu p^\mu e^{\pm i p_\nu x^\nu} \\& = -(E^2 - \mathbf{p}^2) e^{\pm i p_\nu x^\nu} \\& = -m^2 e^{\pm i p_\nu x^\nu} \\& = -m^2 \phi \end{aligned} \end{equation}$$ y entonces: $$\begin{equation} \left(\partial^2 +m^2\right)\phi = \left(-m^2 +m^2\right)\phi = 0 \end{equation}$$ Es normal escribir la solución en términos de soluciones de frecuencia positiva y soluciones de frecuencia negativa: $$\begin{equation} \phi(x)=\phi_+(x) + \phi_-(x) = a e^{- i p_\nu x^\nu} + b e^{+ i p_\nu x^\nu} \tag{1} \end{equation}$$ Por supuesto, también necesitamos sumar todos los valores de energía-momento $p_\mu$(porque la ecuación $(1)$es una solución para cualquier valor de $p_\mu$). Por lo tanto, la solución general es: $$\begin{equation} \phi(\mathbf{x},t) = \int \frac{\mathrm{d}^3 \mathbf{p}}{N} \; \left[ a(\mathbf{p}) e^{- i E_{\mathbf{p}} t + i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}} + b(\mathbf{p}) e^{i E_{\mathbf{p}} t - i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}\right] \end{equation}$$ dónde $N$es una constante de normalización.

Para ver cómo cambiar entre la imagen de Dirac y la de Schrödinger, os remito a la sección$2.4$de P&S.

Editar No pude evitarlo y rápidamente agregaré esto:

P&S están discutiendo el campo real de Klein-Gordon, lo que significa:

$$\phi = \phi^*$$ y entonces: $$\begin{equation} \int \frac{\mathrm{d}^3 \mathbf{p}}{N} \; \left[ a(\mathbf{p}) e^{- i p^\mu x_\mu} + b(\mathbf{p}) e^{ip^\mu x_\mu}\right] = \int \frac{\mathrm{d}^3 \mathbf{p}}{N^*} \; \left[ a^*(\mathbf{p}) e^{ ip^\mu x_\mu} + b^*(\mathbf{p}) e^{-i p^\mu x_\mu}\right] \end{equation}$$ lo que implica: $$\begin{equation} \begin{array}{cc} a(\mathbf{p}) = b^*(\mathbf{p}) \; ,& b(\mathbf{p}) = a^*(\mathbf{p}) \end{array} \end{equation}$$ y $N$debe ser un verdadero. Entonces el campo real se puede escribir como: $$\begin{equation} \phi(\mathbf{x},t) = \int \frac{\mathrm{d}^3 \mathbf{p}}{N} \; \left[ a(\mathbf{p}) e^{- i E_{\mathbf{p}} t + i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}} + a^*(\mathbf{p}) e^{i E_{\mathbf{p}} t - i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}\right] \end{equation}$$

Después de los comentarios y la respuesta de Hunter, creo que la diferencia entre estas dos cosas radica en el hecho de que, en la imagen de Schrödinger, el$\psi (\vec x)$satisface la ecuación

$$\bigg (\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 + m^2 \bigg)\psi (x) = 0$$ dónde $\omega_p = \sqrt{|\vec p|^2 + m^2}$.

$$\hat\psi(\vec x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_p}} \Bigl[a(\vec p) e^{i\vec k. \vec x} + a^\dagger(\vec p) e^{-i\vec k. \vec x} \Bigr]$$

Sin embargo, en el caso de la imagen de Heisenberg, los operadores de escalera de Schrödinger se transforman como (consulte la sección 2.4 de P&S)

$$a_h(\vec p) = e^{iHt}a(\vec p)e^{-iHt} = a(\vec p)e^{-iE_pt}$$ $$a^\dagger_h(\vec p) = e^{iHt}a^\dagger(\vec p)e^{-iHt} = a(\vec p)e^{iE_pt}$$

Ahora poniendo esto en la expresión para obtener la representación de Heisenberg del campo,

$$\hat\psi_h(\vec x ,t) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_p}} \Bigl[a(\vec p) e^{ip_\mu x^\mu} + a^\dagger(\vec p) e^{-ip_\mu x^\mu} \Bigr]$$ dónde $p^0 = E(\vec p)$

Ahora este operador satisface la ecuación

$$i\frac{\partial}{\partial t} \hat\psi_h = [\hat\psi_h,\hat H]$$