Expansión del campo escalar libre en términos de operadores de escalera

Tengo algunas dificultades con los puntos más finos de expandir un campo en términos de operadores de escalera. Tenga en cuenta que esto no es idéntico a la otra pregunta relacionada que hice. De Peskin/Schroeder;

En cualquier momento fijo$t_0$por supuesto que podemos ampliar$\phi$en términos de operadores de escalera

$$\phi(\textbf{x},t_0)=\displaystyle\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_p}}(a_pe^{i\textbf{p.x}}+a_p^\dagger e^{-i\textbf{p.x}}).$$ Entonces para obtener$\phi(\textbf{x},t)$para$t\neq t_0$simplemente cambiamos a la imagen de Heisenberg $$\phi(\textbf{x},t)=e^{iH(t-t_0)}\phi(\textbf{x},t_0)e^{-iH(t-t_0)}.$$

Creo que la notación es un poco dudosa. Definir$\phi^S(\textbf{x})=\phi(\textbf{x},t_0)$. Entonces$\phi^S(\textbf{x})$es independiente del tiempo y corresponde a la imagen de Schrödinger de$\phi(x)$. Entonces, por supuesto, podemos definir los momentos conjugados$\pi^S(\textbf{x})=\pi(\textbf{x},t_0)$en el cuadro de Schrödinger. Juntos, estos satisfacen las relaciones de conmutación (tiempo igual). Entonces podemos introducir los operadores de creación y aniquilación y diagonalizar el hamilmtoniano.

$$\phi(\textbf{x},t_0)=\displaystyle\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_p}}(a_p(t_0)e^{i\textbf{p.x}}+a_p(t_0)^\dagger e^{-i\textbf{p.x}}).$$

Mi problema principal se debe a la "dependencia del tiempo" de$a_p$y$a^\dagger_p$. Estos operadores se definen en el segmento de tiempo$t=t_0$. En particular$a_p=a_p(t_0)$y el estado de vacío se define como el estado aniquilado por$a_p$. Pero$a_p$en realidad solo se define para$t=t_0$. Así que podríamos elegir una porción de tiempo de diferencia$t=t_1$y ampliar el campo en términos de nuevos operadores de escalera

$$\phi(\textbf{x},t_1)=\displaystyle\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_p}}(a_p(t_1)e^{i\textbf{p.x}}+a_p(t_1)^\dagger e^{-i\textbf{p.x}}).$$

Dado que el estado de vacío también debe ser aniquilado por estos operadores de aniquilación, ¿implica esto que el campo es completamente independiente del tiempo?

Editar: Además, Peskin / Schroeder no mencionan los intervalos de tiempo, simplemente dicen que están trabajando en la imagen de Schrodinger. Es la forma en que he definido las cosas anteriores esencialmente lo que está sucediendo, es decir, han definido sus operadores de creación/aniquilación en algún momento de referencia ($t=0$por lo que parece) y simplemente dejó esto completamente implícito? Entonces sus operadores de creación crearían una partícula con momento$\textbf{p}$en el momento$t=0$mientras que el mío definido en el intervalo de tiempo$t=t_0$crearía una partícula con impulso$\textbf{p}$en el momento$t=t_0$?