2π2π2\pi y Reglas de Feynman

Supongo que hablas del estándar.$2\pi$que aparece en las reglas de la transformada de Fourier. el factor de$2\pi$o$1/2\pi$o dos factores de$1/\sqrt{2\pi}$tiene que aparecer "en algún lugar" en las reglas de transformada de Fourier porque esto es lo que implican las matemáticas. En cualquier caso, si esta es su pregunta, es una pregunta matemática y puede aprenderla en algunos cursos intensivos de cálculo bastante básicos, tal vez incluso en

https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

El número$k=2\pi$es el mínimo número positivo para el cual$\exp(i k x) = 1$para$x=1$. Eso es porque$\exp(2\pi i)=1$– La identidad favorita de Gauss y Feynman en todas las matemáticas. Un escolar conoce esta constante$2\pi$que aparece en el exponente como la circunferencia del círculo unitario. Es por eso$2\pi$es el espaciado natural en el espacio de frecuencias y el espaciado es necesario para una traducción entre "una suma sobre frecuencias angulares o números de onda" a una integral sobre las mismas variables. (Esta conversión es fácil si piensas en la integral de Riemann$\int f(x)dx=\lim \sum f(x)\Delta x$etc.: la$\Delta x$factores son los espaciamientos.) Así es como el$2\pi$aparece

De manera equivalente, si desea que el$\delta$-función, la$2\pi$aparece en la identidad

Varios múltiplos de$\pi$aparecen en toneladas de otros lugares en la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos y la física en general por muchas razones estrechamente relacionadas. Por ejemplo, la evaluación de los diagramas de Feynman conduce al volumen de una esfera de 4 o integrales relacionadas y los volúmenes de la unidad$n$-las esferas son múltiplos racionales de una potencia de$\pi$, también. (Por eso, por ejemplo, es natural incluir$1/4\pi$de la superficie de la esfera en la ley de Coulomb. El ejemplo inicial con$2\pi$es un ejemplo especial también porque el círculo unitario antes mencionado también es una esfera unidimensional.) Aquí hay demasiadas matemáticas para preparar uno para todas las ocurrencias de$\pi$en física. Esta constante aparece prácticamente en todas partes en la física y uno realmente no puede hacer física sin conocer muchas de estas identidades matemáticas que involucran$\pi$.

Al comenzar por calcular las amplitudes de transición en el espacio de posición y tomar la transformada de Fourier de estas amplitudes, para obtener la amplitud de transición en el espacio de momento, obtiene términos (por ejemplo, en un$2 \to 2$interacción) en$\int d^4v e ^{-i(p_1+p_2-p_3-p_4)v}$, y esto es igual a$(2\pi)^4 \delta^4(p_1+p_2-p_3-p_4)$

Un ejemplo de tal amplitud en el espacio de posición es (por ejemplo, en un$\phi^4$teoría):

$A (x_1,x_2,x_3,x_4) = \int d^4w ~d^4z ~\delta(x_1-w)~\delta(x_2-w) [D(w-z)]^2~\delta(z-x_3)\delta(z-x_4)$

Aquí$D$es el propagador en el espacio de posiciones.

Al tomar la transformada de Fourier$A (p_1,p_2,p_3,p_4) = \int dx_1 dx_2 dx_3dx_4 A (x_1,x_2,x_3,x_4) e^{i (p_1x_1 +p_2x_2+p_3x_3+p_4x_4)}$,

obtienes un término$e ^{i(w (p_1+p_2) - z(p_3+p_4))}$, que puedes escribir$e ^{i w (p_1+p_2 -p_3-p_4)} e ^{i(w - z) (p_3+p_4)}$, el primer término te da el$(2\pi)^4 \delta^4(p_1+p_2-p_3-p_4)$término, mientras que el segundo término da la transformada de Fourier de$[D(x)]^2$, en el punto$p_3+p_4= p_1+p_2$, que es una convolución$\int dp \tilde D(p) \tilde D(p_1+p_2 -p)$, dónde$\tilde D(p)=\frac{1}{p^2}$

Entonces la integral es$L$veces el imponente "delta de Kronecker"$k=0$y porque el espacio entre permitido$k$es$2\pi/L$, la integral es decir$L$veces el delta de Kronecker se puede convertir a$2\pi/L$veces$L$veces la función delta que es$2\pi$veces la función delta porque la$L$los factores se cancelan.