Práctica estándar de la transformada de Fourier para la física

Hay muchas opciones posibles con respecto a los coeficientes de escala generales, así como el tiempo y la frecuencia de conversión del coeficiente de escala. Es posible resumir estas convenciones sucintamente usando dos números$a$y$b$. Uso la misma notación que se usa en la función Transformada de Fourier de Mathematica.

Definimos la Transformada de Fourier:

$$\mathcal{FT}_{a,b}[f(t)](\omega) = \sqrt{\frac {|b|}{(2\pi)^{1-a}}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{+i b \omega t} f(t) dt$$

y la transformada inversa de Fourier

$$\mathcal{FT}_{a,b}^{-1}[\tilde{f}(\omega)](t) = \sqrt{\frac{|b|}{(2\pi)^{1+a}}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i b \omega t} \tilde{f}(\omega) d\omega$$

Dejar

$$\tilde{f}_{a,b}(\omega) = \mathcal{FT}_{a,b}[f(t)](\omega)$$ $$\check{f}_{a,b}(t) = \mathcal{FT}_{a,b}^{-1}[\tilde{f}_{a,b}(\omega)](t)$$

Se puede demostrar mediante el teorema de inversión de Fourier que para las clases de funciones que nos interesan en física$\check{f}_{a,b}(t) = f(t)$para cualquier$a$y$b$. Es decir, para estas definiciones de transformada de Fourier y transformada de Fourier inversa, las dos operaciones son inversas entre sí.

Resulta que en la literatura científica y de ingeniería hay muchas convenciones que las personas eligen dependiendo principalmente de a lo que están acostumbradas.

La primera convención en el OP es$(a,b) = (1,-1)$que se usa comúnmente en física, tan comúnmente como$(a,b) = (1,+1)$que es la segunda convención que has mostrado.

Además también verás convenciones donde$(a,b) = (0,\pm1)$donde el factor de$2\pi$se divide en partes iguales entre la transformada y la transformada inversa que aparece con una raíz cuadrada.

Además, por lo general, en matemáticas o procesamiento de señales, se encontrará con el$(a,b) = (0,\pm 2\pi)$convención en la que NO hay prefactor de$2\pi$en la transformada o la transformada inversa, pero ahora en lugar de la frecuencia angular$\omega$representa una frecuencia cíclica y una$2\pi$aparece en todas las exponenciales.

Todas estas diferentes convenciones tienen ventajas y desventajas que pueden hacer que una elección de convención sea más atractiva que otra dependiendo de la aplicación. El punto principal es que en cualquier problema, cualquiera que sea la convención elegida, debe mantenerse igual durante todo el problema.

Para volver a la pregunta principal del OP ahora. En el idioma configurado en esta respuesta, el OP básicamente pregunta si importa si$b=+1$o$b=-1$. La respuesta corta es que no importa. De cualquier manera funciona y convierte la señal original en función del tiempo en función de la frecuencia. La diferencia tiene que ver con cómo interpretamos las frecuencias positivas y negativas. Considerar

$$f^1(t) = e^{+i\omega_0 t}$$ $$f^2(t) = e^{-i \omega_0 t}$$

El fasor de la primera función gira en sentido contrario a las agujas del reloj en el espacio de fase, mientras que el segundo gira en el sentido de las agujas del reloj en el espacio de fase.

Si elegimos el$b=-1$convención entonces$\tilde{f}^1_{1,-1}(\omega)$tendrá una contribución distinta de cero en$+\omega_0$mientras$\tilde{f}^2_{1,-1}(\omega)$tendrá una contribución distinta de cero en$-\omega_0$. podríamos decir$f^1$es una señal de frecuencia positiva mientras que$f^2$es negativo

Sin embargo, si elegimos$b=+1$entonces todo se invierte.$\tilde{f}^1_{1,+1}(\omega)$tendrá una contribución distinta de cero en$-\omega_0$mientras$\tilde{f}^2_{1,+1}(\omega)$tendrá una contribución en$+\omega_0$. ahora$f^1$es frecuencia negativa y$f^2$es frecuencia positiva!

Así vemos que ambos$b=+1$y$b=-1$dar respuesta que podemos interpretar como frecuencias con la única diferencia entre los dos que llamamos frecuencias positivas y negativas. Como nota personalmente prefiero$(a,b)=(1,+1)$porque hace que la fórmula de la transformada de Fourier (que uso con más frecuencia que la transformada inversa) sea lo más simple posible. Sin prefactor y sin signo menos en el exponente.

editar: como ha señalado, a veces estos signos pueden tener un efecto sustancial en alguna cantidad física, como invertir el signo (invertir la fase) de la impedancia compleja de un condensador. Desafortunadamente, esto es algo con lo que tenemos que lidiar y tratar de ser consistentes con nuestras propias convenciones y las utilizadas por las referencias que consultamos. Por supuesto, encontrará que ambas convenciones dan la misma respuesta para una cantidad medible real como$V(t)$a través de la resistencia.

Realmente creo que esta es una muy buena pregunta. Ambas convenciones son correctas y aquí intento explicar por qué. Entonces, la transformada de Fourier se deriva de la serie básica de Fourier. Para señales aperiódicas no podemos definir un valor real legítimo de periodicidad e ir a por la transformación permitiendo que el período se extienda hasta el infinito.

La serie de Fourier se define como

$$f(x)=\sum_{0}^{+\infty}\left\{A_k\cos{\frac{2\pi kx}{x_0}}+B_k\sin{\frac{2\pi kx}{x_0}}\right\}\\ A_0=\frac{1}{x_0}\int_{x_0}f(\tau)\mathrm{d}\tau, \quad A_k=\frac{2}{x_0}\int_{x_0}f(\tau)\cos{\frac{2\pi k\tau}{x_0}}\mathrm{d}\tau, \quad B_k=\frac{2}{x_0}\int_{x_0}f(\tau)\sin{\frac{2\pi k\tau}{x_0}}\mathrm{d}\tau$$ Convirtiendo el seno y el coseno de la primera ecuación en formas exponenciales, obtenemos $$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\left\{\left(\frac{A_k-iB_k}{2}e^{i2\pi kx/x_0}\right)+\left(\frac{A_k+iB_k}{2}e^{-i2\pi kx/x_0}\right)\right\}=\sum_{k=0}^{\infty}\left\{\left(C_k e^{i2\pi kx/x_0}\right)+\left(D_k e^{-i2\pi kx/x_0}\right)\right\}$$

Ahora bien, es comprensible que$C_{-k}=D_k$Entonces, puedo escribir

$$f(x)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}C_k e^{i2\pi kx/x_0}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}D_k e^{-i2\pi kx/x_0}$$ Entonces, en mi opinión, ahí es donde comienza la divergencia del camino. Cuando comencé a derivarlo del primero ( $C_k$) convención, terminé con $$F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\omega x}\mathrm{d}x$$ Y cuando usé la segunda convención ( $D_k$), terminé derivando $$F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{i\omega x}\mathrm{d}x$$