¿Cómo derivar esta expresión para el campo escalar libre en QFT? (Peskin y Schroeder)

Question

¿Cómo derivar esta expresión para el campo escalar libre en QFT? (Peskin y Schroeder)

Física
Transformada de Fourier
oscilador armónico
teoría cuántica de campos
ecuación de klein-gordon

Pxx

En el texto introductorio a la teoría cuántica de campos de Peskin y Schroeder, afirman que, de forma análoga al oscilador armónico simple de la mecánica cuántica, el campo escalar libre se puede expresar como:

\begin{matrix} (2.25) & ϕ (\vec{X}) = \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 ω_{pag}}} (a_{pag} {mi}^{i \vec{pag} \cdot \vec{X}} + a_{pag}^{†} {mi}^{- i \vec{pag} \cdot \vec{X}}) \end{matrix}

$\phi(\vec{x}) = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_p}} \left( a_p e^{i \vec{p}\cdot\vec{x}} + a^{\dagger}_p e^{-i \vec{p}\cdot\vec{x}} \right) \tag{2.25}$

En mecánica cuántica $\phi$ se escribiría como:

ϕ = \frac{1}{\sqrt{2 ω_{pag}}} (a + a^{†})

$\phi = \frac{1}{\sqrt{2 \omega_p}} \left( a + a^{\dagger} \right)$

Puedo ver las similitudes entre las dos expresiones, así como el hecho de que uno puede expandir el campo libre de Klein-Gordon como:

\begin{matrix} (2.20b) & ϕ (\vec{X}, t) = \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} {mi}^{i \vec{pag} \cdot \vec{X}} ϕ (\vec{pag}, t) . \end{matrix}

$\phi(\vec{x},t) = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} e^{i \vec{p}\cdot\vec{x}} \phi(\vec{p},t).\tag{2.20b}$

Sin embargo, no entiendo cómo llegar a la expresión final dada anteriormente, especialmente la exponencial con signo negativo en el segundo término. Probablemente sea solo una pequeña cosa que no estoy viendo, pero estaría agradecido si alguien pudiera darme una pista.

AccidentalFourierTransformar

relacionado: una pregunta sobre el uso de la descomposición de Fourier para resolver la ecuación de Klein Gordon y los enlaces en ella.

Respuestas (1)

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JG · Answer 1

adoptaré la abreviatura $kx:=k_0x^0-\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}$ . La ecuación de Klein-Gordon $(\square +m^2)\phi=0$ puede resolverse mediante una transformada de Fourier. Escribiendo $\phi(x)=\int d^4ke^{-ikx}\tilde{\phi}(k)$ obtenemos $(k^2-m^2)\tilde{\phi}(k)=0$ , es decir $\tilde{\phi}(k)=\tilde{\varphi}(k)\delta(k^2-m^2)$ para alguna funcion $\tilde{\varphi}(k)$ . Usando

d (k^{2} - {metro}^{2}) = \frac{d (k_{0} - ω_{k}) + d (k_{0} + ω_{k})}{2 ω_{k}}

$\delta(k^2-m^2)=\dfrac{\delta(k_0-\omega_\mathbf{k})+\delta(k_0+\omega_\mathbf{k})}{2\omega_\mathbf{k}}$ da

ϕ (X) = \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3} 2 ω_{k}} (a_{+} (k) {mi}^{- i k X} + a_{-}^{*} (k) {mi}^{i k X})

$\phi(x)=\int\dfrac{d^3k}{(2\pi)^32\omega_\mathbf{k}}(a_+(k)e^{-ikx}+a_-^\ast(k)e^{ikx})$ con

a_{+} (k) := (2 pag i)^{3} \tilde{φ} (ω_{k}, k), a_{-} (k) := (2 pag i)^{3} {\tilde{φ}}^{*} (- ω_{k}, k) .

$a_+(k):=(2pi)^3\tilde{\varphi}(\omega_\mathbf{k},\,\mathbf{k}),\,a_-(k):=(2pi)^3\tilde{\varphi}^\ast(-\omega_\mathbf{k},\,\mathbf{k}).$ Verdadero

ϕ

$\phi$ ,

a_{-} = a_{+}^{†}

$a_-=a_+^\dagger$ , por lo que define

a := a_{+}

$a:=a_+$ hemos terminado (Tienes un error

\sqrt{}

$\sqrt{}$ firmar en el operador de integración invariante de Lorentz.) Tenga en cuenta en particular su

e^{i k \cdot x}

$e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}$ coeficiente de

a_{k}

$a_k$ es

e^{i (k_{0} x^{0} - k x)}

$e^{i(k_0x^0-kx)}$ , pero he absorbido el

e^{i k_{0} x^{0}}

$e^{ik_0x^0}$ factor en mi definición de

a_{k}

$a_k$ para hacer manifiesta la invariancia de Lorentz del resultado anterior.

Muchas gracias por tu respuesta, ¡es muy claro! ¿Estás seguro de lo erróneo? $\sqrt{}$ ? En Peskin parece estar allí (ecuación 2.25, página 21), con $\omega_p = \sqrt{p^2 + m^2}$ . ¿O tal vez entendí mal lo que quieres decir?
Tengo una pregunta más con respecto al resultado que das para $\tilde{phi}(k)$ en su primer párrafo: ¿la integral realmente está ahí o es simplemente igual a alguna función multiplicada por la función delta?
@Julien (i) Me refiero a que tu primera ecuación tiene $\dfrac{1}{\sqrt{2\omega_\mathbf{k}}}$ . La frecuencia, por supuesto, ya es una raíz cuadrada. El conteo de poder de mi respuesta se basa en las páginas 47/8 aquí . (ii) Ah, eso fue un error que ahora he corregido. Hay una historia graciosa allí: mientras originalmente escribí la respuesta, accidentalmente me perdí uno o dos signos integrales, pero obviamente me excedí al ponerlo en lugares.
¡Gracias por tu respuesta! Eso es extraño, en Peskin y en las notas de David Tong hay una raíz cuadrada de hecho, aunque puedo ver que no hay en su enlace y escucho su argumento. No tengo un enlace a Peskin, pero creo que las conferencias de D. Tong (que puede encontrar aquí: damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/qft.pdf ) están basadas en Peskin (ver ecuación 2.18 página 23).
Bueno, definitivamente no necesitamos la raíz cuadrada adicional. Como se ha explicado aquí , es solo el $1/k_0$ factor del delta de Dirac en mi respuesta anterior.
La raíz cuadrada (o la falta de ella) corresponden a diferentes convenciones (algunos autores redefinen $a\to \sqrt{2\omega} a$ ). Ambas convenciones están perfectamente bien.
@AccidentalFourierTransform Gracias por aclarar ese punto. Todo esto está claro ahora.
En realidad, todavía tengo un problema que no había notado antes: cuando inserto la suma de las funciones delta de Dirac dentro de la integral transformada de Fourier, obtengo: $ϕ (X) \propto \int d^{3} k \frac{1}{2 ω_{k}} ({mi}^{i k X} d (k_{0} - ω_{k}) + {mi}^{i k X} d (k_{0} + ω_{k})) φ (k) = \int d^{3} k \frac{1}{2 ω_{k}} ({mi}^{i (ω_{k} t - \vec{k} \cdot \vec{X})} φ (ω_{k}, \vec{k}) + {mi}^{i (- ω_{k} t - \vec{k} \cdot \vec{X})} φ (- ω_{k}, \vec{k}))$ $\phi(x) \propto \int d^3 k \frac{1}{2\omega_k} \left(e^{i kx} \delta(k_0 - \omega_k) + e^{i kx} \delta(k_0 + \omega_k) \right) \varphi(k) = \int d^3 k \frac{1}{2\omega_k} \left(e^{i (\omega_k t - \vec{k}\cdot\vec{x})} \varphi(\omega_k, \vec{k}) + e^{i (-\omega_k t - \vec{k}\cdot\vec{x})} \varphi(-\omega_k, \vec{k}) \right)$ . Mi problema está relacionado con las exponenciales: el primer término está bien, pero ¿cómo se convierte el segundo término en $e^{-i kx}$ ?
Ah, no importa, este paso lo explica @AccidentalFourierTransform en el enlace que publicó en el comentario de la pregunta.

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