Sistema de fermiones distinguibles

Comencé a leer sistemas de muchas partículas en mecánica cuántica y encontré el concepto de partículas idénticas frente a partículas distinguibles.

Sin embargo, me pregunto qué sucede en el caso de un conjunto de fermiones distinguibles. ¿Hay alguna regla especial, como el principio de exclusión de Pauli para fermiones idénticos, que debemos tener en cuenta al llenar estas partículas?

Digamos que tenemos 5 fermiones distinguibles de la misma masa en un 1 D oscilador armónico. Dado que las partículas son distinguibles, podemos usar la separación de variables para separar las funciones de onda para el 5 fermiones.

Supongamos que el sistema está en su estado fundamental. Por lo tanto, la 5 los fermiones distinguibles también deben estar en sus respectivos estados fundamentales. Sin embargo, dado que todos ellos tienen la misma masa, tendrían el mismo nivel de energía en el estado fundamental. Así, en el sistema, tenemos un nivel de energía que tiene 5 fermiones distinguibles en el estado fundamental.

¿No están los fermiones aquí, simplemente comportándose como lo harían bosones idénticos con el mismo potencial? ¿Es correcta mi intuición o los fermiones no llenan sus respectivos estados fundamentales de esta manera? Si fueran idénticos, este no habría sido el caso, ya que habría violado el principio de exclusión. Sin embargo, el principio de exclusión entra en juego incluso en el caso de fermiones distinguibles.

Desde la perspectiva del nivel de energía, los fermiones distinguibles parecen actuar exactamente de la misma manera que cualquier partícula distinguible. La única diferencia está en las funciones de onda, ya que ahora también tenemos que considerar los estados de espín. Sin embargo, desde la perspectiva del nivel de energía, ¿estoy en lo correcto al decir que bosones idénticos, partículas distinguibles y fermiones distinguibles de la misma masa, tienen exactamente los mismos valores de energía para diferentes estados y solo sus funciones de onda son diferentes?

No conozco ningún fermión distinguible de la misma masa. ¿Es la igualdad de masas un requisito? Si no, llamas mirada a los átomos muónicos o al deuterón.

Respuestas (1)

Tu intuición es correcta.

Considere un sistema con un número fijo norte de partículas no relativistas, todos fermiones. Ignorando el espín por simplicidad, la función de onda de tal sistema es una función de norte puntos en el espacio:

(1) ψ ( X 1 , X 2 , . . . , X norte ) .
Si el j y k th partículas son de la misma especie, entonces la función de onda debe satisfacer
(2) ψ ( X π ( 1 ) , X π ( 2 ) , . . . , X π ( norte ) ) = − ψ ( X 1 , X 2 , . . . , X norte )
por la permutacion π que intercambia j ↔ k y deja los otros puntos sin cambios. Si el j y k Si las partículas no son de la misma especie, entonces no se requiere tal (anti)simetría. En particular, si tenemos 5 partículas ( norte = 5 ) todas de diferentes especies, entonces la función de onda no necesita tener ninguna (anti) simetría en absoluto. El hecho de que las partículas sean todas fermiones es irrelevante en ese caso. Nada cambiaría si fueran bosones, en el modelo estrictamente no relativista y sin espín que estamos usando aquí por simplicidad. (En un modelo relativista, no podemos ignorar el espín, y el número de partículas suele estar mal definido, pero no entraré en esas complicaciones aquí).

Podemos considerar todos los valores de norte utilizando simultáneamente el formalismo de los operadores de creación/aniquilación. Aún ignorando el espín por simplicidad, podemos describir un sistema de fermiones estrictamente no relativistas usando k diferentes operadores de creación a k † ( X ) para cada X , con k ∈ { 1 , 2 , . . . , k } , dónde k es el número de especies diferentes. Si | 0 ⟩ es el estado sin partículas, entonces

(3) ∫ X , X ′ ψ ( X , X ′ ) a 1 † ( X ) a 1 † ( X ′ ) | 0 ⟩
es un ejemplo de un estado con dos partículas de la misma especie, y
(4) ∫ X , X ′ ψ ( X , X ′ ) a 1 † ( X ) a 2 † ( X ′ ) | 0 ⟩
es un ejemplo de un estado con dos partículas de diferente especie. La afirmación de que todas las partículas son fermiones se puede expresar matemáticamente mediante el requisito de que todos los operadores de creación se contrarresten entre sí:
(5) a j † ( X ) a k † ( X ′ ) = − a k † ( X ′ ) a j † ( X ) .
Para partículas de la misma especie ( j = k ), esto implica inmediatamente el principio de exclusión de Pauli: sólo la parte antisimétrica de ψ importa en (3), porque el signo menos en (5) elimina cualquier contribución de la parte simétrica. Esto se sigue del hecho de que en (3), intercambiar los subíndices es lo mismo que intercambiar los puntos. Pero para partículas de diferentes especies ( j ≠ k ), eso ya no es cierto, y el signo menos en (5) no tiene ninguna consecuencia en este caso. De hecho, el signo menos en (5) se puede eliminar cuando j ≠ k utilizando una transformada de Klein .

Muchas gracias. Sin embargo, me preguntaba acerca de la parte de giro. Si ignoramos esa parte del espín, la función de onda para los fermiones distinguibles debería verse igual que la de cualquier partícula distinguible. Las funciones de onda de espín marcan la diferencia aquí. Sin embargo, para fermiones distinguibles, ¿la función de onda de espín será antisimétrica?
Por ejemplo, digamos que hay dos fermiones en un pozo 1D, uno hacia arriba y 1 hacia abajo. Por lo tanto, son distinguibles y su función de onda espacial sería solo una multiplicación de ambas funciones de onda espaciales individuales. Sin embargo, leí que el giro será un estado singulete. Me pregunto por qué es así. Se ha hecho aquí: enlace
@NakshatraGangopadhay Vamos metro ∈ { arriba abajo } . Para dos fermiones de espín-1/2 de la misma especie, la función de onda debe satisfacer ψ ( X , metro , X ′ , metro ′ ) = − ψ ( X ′ , metro ′ , X , metro ) . Si metro ≠ metro ′ , entonces la función ψ ( X , metro , X ′ , metro ′ ) y ψ ( X ′ , metro , X , metro ′ ) no necesitan estar relacionados entre sí de ninguna manera especial. Pero si el hamiltoniano es tal que el estado de menor energía es simétrico bajo X ↔ X ′ , entonces debe ser antisimétrica bajo metro ↔ metro ′ (es decir, debe ser un estado singlete).
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