¿Por qué la función de onda de dos bosones aislados debería ser simétrica?

En mecánica cuántica, simplemente no hay estados no simétricos, en el espacio de Hilbert para bosones idénticos. Por definición, todos los estados son completamente simétricos entre el intercambio de bosones idénticos. No existe una regla arbitraria que diga que algunos estados están simetrizados y otros no.

Por lo tanto, su amigo tiene razón: para bosones idénticos, el estado siempre está simetrizado, incluso si el estado involucra dos excitaciones de bosones que están localizadas y separadas como el espacio entre sí.

Sin embargo, el error que cometería al ignorar el hecho de que el estado está simetrizado será muy pequeño si la superposición entre las dos funciones de onda localizadas es pequeña. Entonces, en la práctica, a menudo ignoramos los bosones en galaxias distantes cuando hablamos de bosones en la Tierra, y no causa ningún problema.

Estoy de acuerdo con la respuesta de Andrew: el espacio de Hilbert para bosones idénticos solo tiene estados simétricos. Otro punto que vale la pena señalar es que si dos partículas son idénticas, cualquier hamiltoniano que describa su dinámica será simétrico con respecto al intercambio de esas partículas y se deduce que el estado conjunto nunca evolucionará entre formas simétricas y antisimétricas. Entonces, si alguna vez es simétrico, simétrico se mantendrá.

Para obtener otra perspectiva sobre esto, puede ser útil invocar el concepto de campo cuántico. Cuando tratamos las partículas una a la vez y tenemos conservación del número de partículas, estamos tratando los campos cuánticos de una manera simplificada. Esto puede ser útil, pero en última instancia, la teoría de campos es el modelo más preciso y general. Y en la teoría de campos no necesitamos etiquetar partículas individuales. Más bien, etiquetamos modos y podemos tener grados de excitación de esos modos. En términos generales, lo que llamamos partícula es la presencia de un grado de excitación de un modo.

En el ejemplo bajo consideración, tenemos un campo bosónico en un estado que se puede escribir

$$|\psi \rangle = a_i^\dagger a_j^\dagger | 0 \rangle = |0,0,\cdots 0, 1, 0,0, \cdots 0, 1, 0, 0, \cdots\rangle$$ dónde$i$y$j$etiquete los modos, por ejemplo, uno localizado en la Tierra y otro localizado en Proxima Centuri, y los 1 en la lista del lado derecho están en el$i$'th y$j$'ésimas posiciones. En esta expresión se indica que el modo localizado en la Tierra tiene una excitación (hay una 'cosa' allí) y el modo localizado en Proxima Centuri tiene una excitación (hay una 'cosa' allí) pero no hay más distinción física -marca adherida a cada una de las dos cosas individualmente. La notación no lo permite, y la notación refleja la naturaleza física de las cosas en discusión. Si uno intenta decir algo como 'el de la Tierra, llamado Mike, se fue de viaje a Promixa Centuri', entonces está adoptando palabras que no logran mapear las afirmaciones matemáticas, por lo que tales formas de hablar no transmiten buenas habilidades físicas. intuición. Sería un poco como decir 'Veo que tienes algunos julios de energía allí y, por cierto, el primer julio se llama Mike y el segundo julio se llama Fátima'. La analogía con la energía nos ayuda a intuir por qué es un error etiquetar las partículas. De hecho, a este respecto, estas idénticas llamadas "partículas" son bastante distintas de las "partículas" que aparecen en la física newtoniana.

En esta formulación, la diferencia entre bosones y fermiones entra en las relaciones de conmutación entre los operadores ascendentes y descendentes, que dan como resultado$(a^\dagger)^2 = 0$para fermiones pero no para bosones.

Debo incluir la simetría solo cuando la superposición entre la parte espacial de sus funciones de onda no es despreciable y continuamente pasan de una función de onda no simetrizada a una simetrizada, cuando el bosón de Proxima centauri se acerca a mi bosón en la tierra.

Eso no puede funcionar en general porque con dos o más dimensiones espaciales, es posible observar estadísticas bosónicas/fermiónicas incluso si las partículas nunca se acercan entre sí.

Digamos que Mike y Fátima comienzan a 4 años luz de distancia, y luego, en función de un lanzamiento de moneda cuántica, los dejas donde están o comienzas a moverse en caminos semicirculares opuestos a la misma velocidad.$v$para que intercambien lugares en$2πc/v$años. Pasado ese tiempo, observará interferencia constructiva, destructiva o nula dependiendo de si son bosones idénticos, fermiones idénticos o no idénticos. Las partículas en este experimento siempre están separadas por 4 años luz. Es decir, el estado en cada momento es una superposición de estados de base de posición en los cuales todos están a 4 años luz de distancia.

Sería increíblemente difícil hacer un experimento de ese tipo, incluso a escala reducida, pero las reglas de la mecánica cuántica lo permiten.