¿Pueden dos fermiones ocupar el mismo nivel de energía en un pozo de potencial infinito?

Supongamos que hay dos electrones en un pozo de potencial infinito, ¿cuál sería el estado fundamental para este sistema?

Sé que dos bosones pueden ocupar el nivel de energía más bajo (n = 1) porque no tienen que obedecer el principio de exclusión de Pauli, pero ¿pueden los fermiones también si tienen un espín diferente?

Creo que el estado fundamental de dos electrones con espín diferente debería ser que ambos electrones estén en el nivel de energía más bajo (n = 1). Sin embargo, no estoy seguro porque si ambas partículas están en el mismo nivel de energía, la función de onda del estado fundamental no es antisimétrica.

Respuestas (1)

La función de onda total debe ser antisimétrica bajo el intercambio de partículas. Dado que cada electrón está en el mismo estado fundamental de 1 partícula, mi 0 ( X ) , la función de onda espacial será simétrica bajo intercambio; por lo tanto, la función de onda de espín debe ser antisimétrica.

La función de onda de 2 partículas es:

mi 0 , 0 ( X 1 , X 2 ) = mi 0 ( X 1 ) mi 0 ( X 2 ) = mi 0 ( X 2 ) mi 0 ( X 1 ) = mi 0 ( X 2 , X 1 ) .

Las reglas relativas a la suma del momento angular están bien documentadas. El estado fundamental antisimétrico tendrá S = 0 , y por supuesto S z = 0 :

Ξ 1 , 2 = 1 2 ( ↑ 1 ↓ 2 − ↓ 1 ↑ 2 ) ,

donde los subíndices etiquetan el índice de partículas (y las flechas indican el componente z). Tenga en cuenta que:

Ξ 2 , 1 = 1 2 ( ↑ 2 ↓ 1 − ↓ 2 ↑ 1 ) = − 1 2 ( ↑ 1 ↓ 2 − ↓ 1 ↑ 2 ) = − Ξ 1 , 2

de modo que el estado de espín es de hecho antisimétrico.

La función de onda total es su producto:

ψ 1 , 2 = mi 0 ( X 1 ) mi 0 ( X 2 ) Ξ 1 , 2 .

Tenga en cuenta que la afirmación "los electrones tienen un espín diferente" es engañosa (incluso diría "clásico"): tienen el mismo espín: j = ℏ j ( j + 1 ) = 3 / 2 ℏ . Incluso tienen la misma proyección sobre el z − eje: ± ℏ / 2 --es solo que su combinación es antisimétrica bajo intercambio.

Finalmente: en ninguna parte necesité referirme a la solución cuantitativa del pozo cuadrado.

@MomoTheSir De nada. Lea otra vez, ya que arreglé algunos errores tipográficos graves que hicieron que las matemáticas no estuvieran de acuerdo con el texto.
@MomoTheSir Agregaría que este estado, en el que dos fermiones tienen sus giros en una configuración antisimétrica y sus funciones de onda espaciales idénticas, es en realidad una muy buena descripción de los dos electrones en un átomo de parahelio. En la vida real, la configuración electrónica del parahelio tiene una energía ligeramente superior a la de los estados fundamentales (llamados "ortohelio"), debido a la repulsión de Coulomb entre los electrones.
@MomoTheSir OK entonces, hagamos 2 neutrinos diestros en una caja.
¿Significa esto que la energía del sistema es 2 mi 0 ? Seguro que lo parece, pero quiero estar seguro.
H ψ 1 , 2 = ( H 1 + H 2 ) mi 0 ( X 1 ) mi 0 ( X 2 ) Ξ = H 1 mi 0 ( X 1 ) mi 0 ( X 2 ) Ξ + H 2 mi 0 ( X 1 ) mi 0 ( X 2 ) Ξ = mi 0 mi 0 ( X 1 ) mi 0 ( X 2 ) Ξ + mi 0 mi 0 ( X 1 ) mi 0 ( X 2 ) Ξ = 2 mi 0 ψ 1 , 2
¿Pueden dos fermiones ocupar el mismo nivel de energía en un pozo de potencial infinito?
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