Sistema de dos partículas

Question

Sistema de dos partículas

novato125

Para un sistema con dos partículas (09:30), ¿por qué su función de onda es un producto de la función de onda de cada partícula? P.ej

ψ (X_{1}, X_{2}) = ψ_{a} (X_{1}) ψ_{b} (X_{2})

$\psi(x_1,x_2)=\psi_a(x_1)\psi_b(x_2)$

Para partículas indistinguibles (16:12), no entiendo muy bien cómo llegó el autor a esta ecuación:

ψ (X_{2}, X_{1}) = \pm ψ (X_{1}, X_{2})

$\psi(x_2,x_1)=\pm\psi(x_1,x_2)$

Menciona algo sobre fases complejas y, debido a que aplica el operador de intercambio dos veces, vuelve a donde comenzamos, lo que significa que la fase por la que tenemos que multiplicar es 0 o $\pi$ .

Por último, nuevamente para partículas indistinguibles, ¿cómo se le ocurrió esto?

ψ (X_{1}, X_{2}) = A [ψ_{a} (X_{1}) ψ_{b} (X_{2}) \pm ψ_{a} (X_{2}) ψ_{b} (X_{1})]

$\psi(x_1,x_2)=A[\psi_a(x_1)\psi_b(x_2)\pm\psi_a(x_2)\psi_b(x_1)]$

Entiendo la suma porque las partículas son indistinguibles y, por lo tanto, pueden tener la función de $\psi_a$ o $\psi_b$ pero no entiendo la resta.

Respuestas (3)

Sistema de dos partículas

Andrei · Answer 1

Para la pregunta 1, todo se reduce a la probabilidad. Tengo dos partículas distinguibles, $a$ y $b$ . La densidad de probabilidad para encontrar partículas $a$ en $x_1$ es

{PAG}_{a} (X_{1}) = Ψ_{a} (X_{1}) Ψ_{a}^{*} (X_{1}),

$P_a (x_1)= \Psi_a(x_1) \Psi_a^*(x_1),$ y tenemos una expresión similar para la partícula

b

$b$ en

x_{2}

$x_2$ . La densidad de probabilidad para encontrar partículas

a

$a$ en

x_{1}

$x_1$ y partícula

b

$b$ en

x_{2}

$x_2$ es solo el producto de densidades de probabilidad

P_{a}

$P_a$ ,

P_{b}

$P_b$ . La densidad de probabilidad es entonces

Ψ (X_{1}, X_{2}) Ψ^{*} (X_{1}, X_{2}) = Ψ_{a} (X_{1}) Ψ_{a}^{*} (X_{1}) Ψ_{b} (X_{2}) Ψ_{b}^{*} (X_{2})

$\Psi(x_1,x_2)\Psi^*(x_1,x_2)=\Psi_a(x_1) \Psi_a^*(x_1) \Psi_b(x_2) \Psi_b^*(x_2)$ Para cualquier número complejo, el conjugado es solo una multiplicación por una fase de distancia:

(a + b i)^{*} = {mi}^{i α} (a + b i)

$(a+b i)^*=e^{i\alpha}(a+b i)$

α

$\alpha$ depende de

a

$a$ y

b

$b$ . Desde aquí puedo escribir

Ψ (X_{1}, X_{2}) = Ψ_{a} (X_{1}) Ψ_{b} (X_{2}) {mi}^{i ϕ}

$\Psi(x_1,x_2)=\Psi_a(x_1) \Psi_b(x_2) e^{i\phi}$ Pero la última fase es irrelevante, por lo que obtienes solo el producto de las funciones de onda individuales.

Para la pregunta 2, volvemos a la probabilidad nuevamente. Sabemos que no podemos distinguir partículas $a$ y $b$ . Entonces

Ψ (X_{1}, X_{2}) = {mi}^{i ϕ} Ψ (X_{2}, X_{1})

$\Psi(x_1,x_2)=e^{i\phi}\Psi(x_2,x_1)$ Repitiendo la misma fórmula otra vez para

x_{2}, x_{1}

$x_2,x_1$ obtenemos

Ψ (X_{2}, X_{1}) = {mi}^{i ϕ} Ψ (X_{1}, X_{2})

$\Psi(x_2,x_1)=e^{i\phi}\Psi(x_1,x_2)$ . Cuando lo reemplazamos en la fórmula anterior, tenemos

Ψ (X_{1}, X_{2}) = {mi}^{i ϕ} Ψ (X_{2}, X_{1}) = {mi}^{2 i ϕ} Ψ (X_{1}, X_{2})

$\Psi(x_1,x_2)=e^{i\phi}\Psi(x_2,x_1)=e^{2i\phi}\Psi(x_1,x_2)$ Esto produce

e^{2 i ϕ} = 1

$e^{2i\phi}=1$ o

e^{i ϕ} = \pm 1

$e^{i\phi}=\pm1$ . Por lo tanto

Ψ (x_{1}, x_{2}) = \pm Ψ (x_{2}, x_{1})

$\Psi(x_1,x_2)=\pm\Psi(x_2,x_1)$ . Entonces, la función de onda total es simétrica (+) o antisimétrica (-).

Para la última pregunta: comenzamos diciendo que $\Psi(x_1,x_2)$ es una combinación lineal de $\Psi_a(x_1) \Psi_b(x_2)$ y $\Psi_a(x_2) \Psi_b(x_1)$ , entonces podemos escribir

Ψ (X_{2}, X_{1}) = a Ψ_{a} (X_{1}) Ψ_{b} (X_{2}) + b Ψ_{a} (X_{2}) Ψ_{b} (X_{1})

$\Psi(x_2,x_1)=a\Psi_a(x_1) \Psi_b(x_2)+b\Psi_a(x_2) \Psi_b(x_1)$ o el equivalente

Ψ (X_{2}, X_{1}) = A [Ψ_{a} (X_{1}) Ψ_{b} (X_{2}) + {mi}^{i ϕ} Ψ_{a} (X_{2}) Ψ_{b} (X_{1})]

$\Psi(x_2,x_1)=A[\Psi_a(x_1) \Psi_b(x_2)+e^{i\phi}\Psi_a(x_2) \Psi_b(x_1)]$ De manera similar a la pregunta anterior, obtenemos que

e^{i ϕ}

$e^{i\phi}$ tiene que ser

+ 1

$+1$ o

- 1

$-1$ . La elección del signo depende de la simetría de la función de onda total (si las partículas son bosones o fermiones)

Entonces $b=Ae^{i\phi}$ mientras que a=A? ¿Cómo los obtuviste?
Supuse (no probé, pero debería ser fácil) que $|a|=|b|$ . Obtendrá esto al normalizar la función de onda. No me importa ahora lo que $a$ y $b$ son. De hecho, incluso después de recibir $b=\pm a$ , $a$ todavía se conoce sólo hasta una fase compleja
como conseguiste $\Psi(x_1,x_2)=e^{i\phi}\Psi(x_2,x_1)$ o $\Psi(x_2,x_1)=e^{i\phi}\Psi(x_1,x_2)$ ? ¿Está relacionado con $\Psi(x_1,x_2)=\Psi_a(x_1) \Psi_b(x_2)$ & $\Psi(x_2,x_1)=\Psi_a(x_2) \Psi_b(x_1)$ y ¿cómo convertiste entre ellos?
Está relacionado con la probabilidad. La densidad de probabilidad de las dos funciones de onda es la misma, por lo que solo difieren en una constante compleja de magnitud 1
¿Por qué asumes que las probabilidades son independientes para poder multiplicarlas juntas?
No siempre es cierto. Es estrictamente válido si el hamiltoniano es separable. Eso significa partículas que no interactúan.
Hay algunos errores graves aquí: la primera ecuación no debería tener la integral. Si te integras $x_1$ entonces el resultado no puede depender de $x_1$ ya no. La conjugación compleja no está representada por un factor de fase. Cambia el signo de $i$ : entonces $(a+i b)^*=a-i b$ . El resto después de eso no se puede confiar.
@flippiefanus He cambiado la probabilidad a densidad de probabilidad. Gracias por señalar eso. Para la segunda parte de tu comentario, te equivocas. Si dos vectores complejos tienen la misma magnitud (y los conjugados complejos la tienen), entonces difieren solo en una fase compleja. Como se menciona en la respuesta, la fase depende de las partes real e imaginaria.
Bueno, en ese caso la fase dependería de $x_1$ y $x_2$ y entonces la derivación puede no funcionar del todo de la forma en que lo muestra.

gentil · Answer 2

Si el estado de dos partículas es el producto tensorial de los dos estados de una sola partícula, entonces la función de onda de las dos partículas es el producto de las dos funciones de onda de una sola partícula.

Para partículas indistinguibles es un hecho experimental que el estado final debe ser simétrico o antisimétrico con respecto al intercambio de coordenadas de las dos partículas.

Sawan kt · Answer 3

Para la primera parte de su pregunta, puede consultar mi respuesta aquí https://physics.stackexchange.com/a/566506/226827

Para su segunda parte de la pregunta sobre el signo menos, puede intuir tomando las mismas partículas, es decir, x1 = x2

cuando hagas esto, tu función de onda se volverá cero, que es exactamente la propiedad de los fermiones, que dos fermiones no pueden estar en el mismo estado.

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