¿Por qué no tenemos partículas cuyas funciones de onda sean simétricas con un operador de intercambio y antisimétricas con otro operador de intercambio?

No es posible tener un estado con cuatro partículas indistinguibles tales que$P_{12} \psi = -\psi$y$P_{34} \psi =\psi$, por una razón algebraica. Es decir, los operadores de intercambio tienen que formar una representación del grupo de permutación.$S_4$. Es bien sabido que hay exactamente dos representaciones de$S_n$: la representación trivial donde todos los operadores de intercambio son$1$, y la representación de paridad donde todas las transposiciones simples están representadas por$-1$y esto se extiende por la ley del grupo.

Así, o bien todos$P_{nm} = 1$o todo$P_{nm} = -1$. Cualquier otra cosa simplemente no es consistente con el álgebra de permutaciones.

Una función de onda es un vector normalizado (o un rayo) en el espacio de Hilbert de estados vectoriales (supondré grados de libertad finitos, por lo que el álgebra C* del sistema puede tomarse como$B(H)$, con$H$un$L^2(\mathbb R^n)$espacio). Spin da una regla de superselección y, por lo tanto, debe haber sectores de superselección. De la teoría general se deduce que los estados vectoriales de diferentes sectores no se pueden combinar para producir otro estado vectorial, sino solo una mezcla estadística. Entonces, una función de onda es bosónica o fermiónica. Para describir un estado con partículas mixtas, necesita funciones lineales más generales que se combinen como una combinación convexa de estados de los sectores de superselección.