¿Por qué el intercambio de coordenadas produce una fase de ±1±1\pm 1 en una función de onda de partículas idéntica?

Considere un sistema de dos partículas idénticas descritas por una función de onda ψ ( X 1 , X 2 ) . Hay dos tipos de operadores de intercambio que se pueden definir:

  • Intercambio físico PAG , es decir, intercambiar las posiciones de las partículas moviéndolas físicamente.
  • El intercambio formal de coordenadas F , dónde F ψ ( X 1 , X 2 ) = ψ ( X 2 , X 1 ) .

Desde F 2 = 1 , los valores propios de F son ± 1 . Algunos libros dicen incorrectamente que esto prueba que solo pueden existir bosones o fermiones. Esto es incorrecto porque el argumento también funciona en 2D, donde existen anyons.

El verdadero argumento es considerar los valores propios de PAG , que son ± 1 sólo en tres dimensiones debido a la topología. En el caso 3D, las funciones de onda con PAG valor propio + 1 describir bosones, y aquellos con PAG valor propio − 1 describir fermiones.

Sin embargo, todos los tratamientos de bosones y fermiones dicen que los bosones tienen F valor propio + 1 , y los fermiones tienen F valor propio − 1 . Por ejemplo, verás la ecuación

ψ ( X 1 , X 2 ) = − ψ ( X 2 , X 1 )
por fermiones. No estoy seguro de dónde viene esto; acepto el PAG valor propio es − 1 , pero por lo que puedo decir F y PAG son totalmente distintos. En particular, sus valores propios deben ser diferentes en dos dimensiones.

Para partículas idénticas en 3D, ¿por qué los F y PAG valores propios iguales?

¿Alguna vez llegó a la claridad sobre este tema?
@Craig Sí, al reflexionar me di cuenta de que la respuesta que obtuve a continuación es totalmente correcta y que, lamentablemente, casi todos los libros de texto están equivocados.
@Craig Para obtener una cuenta correcta, puede ver, por ejemplo, el capítulo 3 de este borrador .
¡Gracias inmensamente!
@knzhou eres severo al condenar la mayoría de los libros de texto; técnicamente el argumento F 2 = 1 por lo tanto, los valores propios son ± 1 es correcto, incluso en 2d. El problema ocurre cuando una partícula gira alrededor de otra, lo que es equivalente a F 2 - en el plano pinchado. Tiene razón, los libros de texto no son precisos y, a menudo, pasan por alto esto, pero no hace que el argumento sea incorrecto: simplemente incorrecto en algunos casos del plano 2d perforado. El enlace que publicaste se ve muy bien y estoy ansioso por descargarlo y leerlo.

Respuestas (1)

Que el comportamiento bajo un cambio físico real sea equivalente al comportamiento bajo el intercambio formal es precisamente el contenido del teorema de la estadística de espín . El giro (comportamiento bajo rotaciones físicas, en particular la representación de un " 2 π rotación" en el espacio de estados) determina las estadísticas (comportamiento bajo intercambio formal, o equivalentemente el comportamiento (anti-)conmutación de los operadores de creación).

Este es un resultado teórico de campo cuántico fundamentalmente relativista. En un entorno de mecánica cuántica no relativista, no hay ninguna razón para que el comportamiento bosónico/fermiónico esté relacionado con el comportamiento bajo intercambio físico. Los fermiones de espín 0 y los bosones de espín 1/2 no son inconsistentes en el entorno QM no relativista.

No estoy del todo convencido, porque el teorema de la estadística de espín parece funcionar también en 2D, donde el F y PAG Los autovalores no son iguales. ¿Cómo funciona eso?
@knzhou: ¿Qué quiere decir con "parece funcionar en 2D"? Falla, hay anyons. Y la razón por la que falla no es que anyons no sea relativista (lo que también sería una evasión permitida), la razón más profunda es que S O ( 2 ) no tiene la doble cubierta habitual como su cubierta universal como todos los grupos de rotación de dimensiones superiores, sino que tiene R como su Z -cubierta de pliegue, permitió diferentes representaciones proyectivas (anyónicas). Si examina, por ejemplo, la derivación en Weinberg, se basa en que hay una etiqueta de giro par/impar j , que no existe de esa manera en 2D.
Estaría increíblemente agradecido si hiciera una sesión de preguntas y respuestas sobre este tema (al nivel de este último comentario) o si pudiera recomendar libros que traten este tema con el cuidado adecuado.
@Craig Traté de escribir algo, pero me di cuenta de que realmente no sé lo que quieres saber. ¿Tal vez podrías hacer una pregunta tú mismo? ;)
¿Por qué el intercambio de coordenadas produce una fase de ±1±1\pm 1 en una función de onda de partículas idéntica?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v