Propiedad antisimétrica de la función de onda fermiónica

Estoy leyendo Estadística cuántica de 'Fundamentos de física estadística y térmica' de Frederick Reif. Tengo preguntas en dos lugares.
Entiendo el siguiente párrafo:

Partículas con espín semiintegral (estadística de Fermi-Dirac) : Esto es aplicable cuando cada partícula tiene un momento angular de espín total (medido en unidades de h) que es semiintegral, es decir, 1 2 , 3 2 , . . . (los ejemplos pueden ser electrones o átomos de He3). Entonces, el requisito fundamental de simetría de la mecánica cuántica es que la función de onda total Ψ ser antisimétrico (es decir, que cambia de signo) bajo el intercambio de dos partículas cualesquiera. en simbolos

(1) Ψ ( ⋅ ⋅ ⋅ q j ⋅ ⋅ ⋅ q i ⋅ ⋅ ⋅ ) = − Ψ ( ⋅ ⋅ ⋅ q i ⋅ ⋅ ⋅ q j ⋅ ⋅ ⋅ )
Una vez más, el intercambio de dos partículas no conduce a un nuevo estado del gas. Por lo tanto, las partículas deben considerarse nuevamente como genuinamente indistinguibles al enumerar los distintos estados del gas. Pero el cambio de inicio de sesión ( 1 ) implica una consecuencia adicional: supongamos que dos partículas i y j ambos en el mismo estado de una sola partícula s , se intercambian. En ese caso uno obviamente tiene
(2) Ψ ( ⋅ ⋅ ⋅ q j ⋅ ⋅ ⋅ q i ⋅ ⋅ ⋅ ) = Ψ ( ⋅ ⋅ ⋅ q i ⋅ ⋅ ⋅ q j ⋅ ⋅ ⋅ )
Pero dado que el requisito fundamental de simetría ( 1 ) también debe ser válido, ( 1 ) y ( 2 ) juntos implican que
(3) Ψ = 0
cuando las partículas i y j están en el mismo estado s Así, en el caso de Fermi-Dirac no existe ningún estado del gas completo en el que dos o más partículas estén en el mismo estado de una sola partícula. Este es el llamado "principio de exclusión de Pauli".

Ahora, estoy pensando que si los fermiones son partículas indistinguibles, entonces el intercambio de dos partículas de dos estados diferentes también debería mantener la misma función de onda: me imagino esto como si tuviera un sistema cuántico que consta de varios niveles de energía en el que estoy poniendo fermiones . Entonces, si intercambio dos de ellos de dos niveles, entonces el sistema se ve igual que si tratamos de poner dos fermiones en el mismo nivel e intercambiarlos. En el primero, es decir, mi caso, entonces también debería seguir la función de onda ( 2 ) y por lo tanto ser 0 . Pero este no es el caso. Creo que estoy cometiendo un grave error al imaginar toda la configuración. ¿Dónde estoy equivocado?

HI The Smart Turtle: eliminé tu última pregunta. Por favor solo haga 1 pregunta por publicación.
el signo -1 es una fase global que no tiene ninguna consecuencia en las mediciones. es un calibre

Respuestas (1)

No necesita que las funciones de onda sean las mismas para que todos los observables permanezcan iguales. Eso es porque todos los observables son valores esperados.

⟨ O ⟩ = ⟨ ψ | O | ψ ⟩ = ( − ⟨ ψ | ) O ( − | ψ ⟩ )

Más bien lo que necesitas preservar son las probabilidades, es decir

| ψ | 2 = ⟨ ψ | ψ ⟩
Y tenga en cuenta que cualquier transformación del tipo | ψ ⟩ → mi i θ | ψ ⟩ conserva eso. Por eso las simetrías (cambios que preservan la física del sistema) son todas transformaciones unitarias. Y el operador de intercambio de pares para un fermión da un signo negativo (o θ = π ).

Pero está escrito en el libro que la función de onda es la misma. ''para que todos los observables permanezcan iguales'' - ¿dónde permanecen iguales? No estoy midiendo nada, solo estoy intercambiando dos partículas.
Están hablando de cualquier medida que pueda hacer potencialmente , deben permanecer iguales antes y después del intercambio. Tenga en cuenta que todos los observables físicos relevantes son siempre valores esperados. Por lo tanto, lo que necesita preservar es el valor esperado. No la función de onda en sí.
Si ese es el caso, ¿cómo explicará la derivación del principio de exclusión de Pauli en términos de valores esperados de observables? Aquí se muestra a través de la función de onda que permanece intacta.
Considere el caso más simple en el que tiene dos electrones en el mismo estado. La función de onda general es el producto de las dos, que es la función individual al cuadrado. La regla dice que si intercambias electrones necesitas tener un signo menos. Un cuadrado que es su propio negativo. Por lo tanto, la función de onda total debe ser igual a su propio negativo. Solo si es cero eso es posible.
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