Significado físico de la derivada exterior de la primera ley de la termodinámica

La primera parte de su pregunta parte de un malentendido. Es mejor olvidarse de los diferenciales inexactos. lo que escribes como$dq$y$dw$no tiene nada que ver con los diferenciales. En general, ni siquiera son funciones de las variables de estado y no hay derivadas exteriores que se puedan tomar.

Trabajando en$dU$solo es una historia diferente.$U$es una función de estado que depende de algunas cantidades termodinámicas como$S,V$, y$N$. El hecho de que$dU$está cerrado ($d^2U=0$) implica la desaparición de los coeficientes de la forma 2 resultante, es decir, la igualdad de las segundas derivadas mixtas. Este resultado se conoce en termodinámica como las llamadas relaciones de Maxwell. Un ejemplo es el siguiente:

Si escribimos las dos formas diferenciales:$\delta Q=C_vdT+ldV$y$\delta W =-PdV$Entonces$d\delta Q=\frac{\partial C_V} {\partial V} dV\land dT+\frac{\partial l}{\partial T}dT\land dV=\left(\frac{\partial C_V}{\partial V}-\frac{\partial l}{\partial T}\right)dV\land dT$

Porque$dT \land dT = 0$,$dV \land dV = 0$y$dT \land dV = -dV \land dT$

También :$d\delta W=-\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)dT\land dV=\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)dV\land dT$

Entonces, encontramos:$\left(\frac{\partial C_V}{\partial V}-\frac{\partial l}{\partial T}\right)=-\frac{\partial P}{\partial T}$

Esto generalmente se encuentra con$dU=C_vdT+\left(l-P\right)dV$e igualando las dos derivadas cruzadas. En la práctica habitual, nunca he encontrado que las formas diferenciales sean muy útiles, pero no soy un experto y tal vez con más práctica.... !