¿Cuál es la diferencia entre ∇σ∇σ\nabla _{\sigma} y ∇σ∇σ \nabla^{\sigma}?

Cuál es la diferencia entre:

∇ σ y ∇ σ ?

Me han dicho que la primera es la derivada covariante, sin embargo, recién estoy comenzando un curso sobre geometría del espacio-tiempo y todavía no estoy seguro de la notación.

Respuestas (1)

∇ σ es la derivada covariante. ∇ σ medio gramo σ ρ ∇ ρ . Es más o menos lo mismo que elevar cualquier otro índice. La derivada covariante cuando actúa sobre cualquier tensor añade un índice a la baja, y puedes subirlo como con cualquier otro índice. Dado que la derivada covariante de la métrica es 0, puede trabajar con ∇ σ o ∇ σ sin preocuparse por los derivados de la métrica que aparece.

lo siento, para ser más precisos, ¿por qué: ∇ σ [ ∇ σ , ∇ v ] F = 0 ¿Dónde f es un escalar?
La respuesta de alto nivel es que [ ∇ m , ∇ norte tu ] representa el conmutador de transporte paralelo infinitesimal, la curvatura. Pero dado que un escalar no se ve afectado por el transporte paralelo, el efecto de la curvatura sobre él es cero. Para un enfoque más pedestre, puede calcularlo en coordenadas donde desaparecen los símbolos de Christoff (tales coordenadas siempre existen).
@sarahusher ∇ a F = ∂ a F para F escalar.
¿Cuál es la diferencia entre ∇σ∇σ\nabla _{\sigma} y ∇σ∇σ \nabla^{\sigma}?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v