Notación de subíndices de Feynman

Antes que nada, siempre le digo a cada estudiante que me pregunta sobre tales expresiones que deje de recordar todas estas reglas infinitas y aprenda a hacer eso con los símbolos delta de Kronecker y Levi-Civita . Por ejemplo, su expresión inicial se ve así:

$$\mathbf{A}\times[\nabla\times\mathbf{B}]=\varepsilon_{ijk}A_j\varepsilon_{klm}\partial_lB_m = \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}A_j\partial_lB_m$$ Como puede ver, cuando lo ha escrito así, ya no necesita preocuparse por la no conmutatividad del producto cruzado. Entonces puedes tomar estos Levi-Civitas y hacer la transformación: $$\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm} = \varepsilon_{kij}\varepsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}$$ Primero hice una permutación cíclica de los índices, y la segunda igualdad es la única igualdad que necesitas recordar (lo cual es realmente fácil: los mismos índices van con "+", y los índices intercambiados van con "-"). Insertando eso, se obtiene: $$\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}A_j\partial_lB_m = \delta_{il}\delta_{jm}A_j\partial_lB_m - \delta_{im}\delta_{jl}A_j\partial_lB_m=A_j\partial_i B_j-A_j\partial_jB_i$$ Aquí he usado la propiedad del delta de Kronecker y en realidad llegué al resultado como en su expresión. Expandamos las sumas para aclarar qué significan realmente esos términos:
$$A_j\partial_i B_j-A_j\partial_jB_i =\left(\begin{array}{c}A_x\frac{\partial B_x}{\partial x}+A_y\frac{\partial B_y}{\partial x}+A_z\frac{\partial B_z}{\partial x}\\A_x\frac{\partial B_x}{\partial y}+A_y\frac{\partial B_y}{\partial y}+A_z\frac{\partial B_z}{\partial y}\\A_x\frac{\partial B_x}{\partial z}+A_y\frac{\partial B_y}{\partial z}+A_z\frac{\partial B_z}{\partial z}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}A_x\frac{\partial B_x}{\partial x}+A_y\frac{\partial B_x}{\partial y}+A_z\frac{\partial B_x}{\partial z}\\A_x\frac{\partial B_y}{\partial x}+A_y\frac{\partial B_y}{\partial y}+A_z\frac{\partial B_y}{\partial z}\\A_x\frac{\partial B_z}{\partial x}+A_y\frac{\partial B_z}{\partial y}+A_z\frac{\partial B_z}{\partial z}\end{array}\right)$$

la notación$\vec \nabla_B$significa simplemente que la derivada se aplica solo en el vector$\vec B$.

Eso es :

$$(\vec \nabla_B)_i (\vec A\cdot \vec B) = \vec A\cdot\frac{\partial \vec B}{\partial x^i}\tag{1}$$