Concepto erróneo sobre la notación de índice

Voy a dar un ejemplo en Relatividad General, pero esta es una pregunta sobre la notación de índices y las transformaciones de coordenadas en general. En "Spacetime and Geometry" de Sean Caroll, existe esta definición de la conexión

(1) Γ m ′   λ ′   v ′ = Λ       v v ′   Λ       m ′ m   Λ       λ ′ λ   Γ m   λ   v − Λ       m ′ m   Λ       λ ′ λ   mi → λ ( Λ       m v ′ ) .

Dónde Λ       v v ′ es un cambio de coordenadas de { X } a { X ′ } . Uno puede multiplicar todo por muchos. Λ matrices y mover el último término a la derecha para obtener

(2) Γ m   λ   v = Λ       v ′ v   Λ       m m ′   Λ       λ λ ′   Γ m ′   λ ′   v ′ + Λ       v ′ v   mi → λ ( Λ       m v ′ ) .

Estas ecuaciones son claramente diferentes, una da la Conexión escrita en { X } en términos de { X ′ } y el otro hace la operación inversa. Sin embargo, también podría haber comenzado llamando a una coordenada como la otra (nombrando los índices primos como no primos y viceversa). Si hubiera hecho esto, habría obtenido esto en su lugar.

(3) Γ m   λ   v = Λ       v ′ v   Λ       m m ′   Λ       λ λ ′   Γ m ′   λ ′   v ′ − Λ       m m ′   Λ       λ λ ′   mi → λ ′ ( Λ       m ′ v ) .

Pero ahora la segunda ecuación y esta ecuación dan reglas diferentes para transformar las coordenadas con prima a las sin prima. ¿Dónde estoy haciendo algo mal?

No estoy seguro de entender totalmente su pregunta, pero mi intuición es que está confundido por el hecho de que el símbolo de Christoffel no es un tensor.
¿De dónde sacas esa definición de la conexión? No es la ecuación 3.1 (o 3.27) en ese libro.
Su ecuación 10 pero estoy usando una notación diferente para la segunda derivada. Estoy usando el vector E_lambda en su lugar porque lo vi desde un punto de vista de geometría diferencial

Respuestas (2)

  1. OP está considerando la fórmula de transformación

    (A) ∂ y τ ∂ X λ Γ m v ( X ) λ   =   ∂ y ρ ∂ X m ∂ y σ ∂ X v Γ ρ σ ( y ) τ + ∂ 2 y τ ∂ X m ∂ X v .
    para el símbolo de Christoffel bajo transformaciones de coordenadas locales generales X m → y v = y v ( X ) . OP ya sabe que el símbolo de Christoffel no es un tensor.

  2. ecuaciones de OP. (2) y (3) son ciertamente consistentes. Uno solo necesita usar los siguientes tres hechos (transcritos en la notación no estándar de OP):

    (B) mi → m ( Λ λ ′ v )   =   ( m ↔ v ) , mi → m   =   Λ m ′ m mi → m ′ , mi → m ( Λ λ v ′ )   =   − Λ λ λ ′ mi → m ( Λ λ ′ v ) Λ v v ′ .

Para no perderse en la orgía de los índices, consideremos la situación de un general GRAMO -conexión, ω m     b   a . Aquí m es un índice de espacio-tiempo, y a , b los índices latinos son "índices internos".

Uno puede realizar una transformación de calibre por un Λ   b a GRAMO función valorada ( GRAMO aquí hay un grupo de Lie matriz). La conexión se transforma bajo transformaciones de coordenadas como un vector covariante honesto, pero bajo transformaciones de calibre, se transforma como

ω m     b ′   a = ( Λ − 1 )   C a ω m     d   C Λ   b d + ( Λ − 1 )   C a ∂ m Λ   b C .
Para concatenar la notación, usemos la notación de forma diferencial para el índice de espacio-tiempo, como en ω   b a = ω m     b   a d X m y utilice la notación matricial para los índices internos. La ley de transformación es entonces
ω ′ = Λ − 1 ω Λ + Λ − 1 d Λ .
La "transformación de calibre" puede verse como una transformación de marcos "internos". Definamos el marco interno inicial como mi y el marco transformado como mi ′ = mi Λ . Ahora, la regla de transformación se va a reorganizar:
Λ ω ′ Λ − 1 − d Λ Λ − 1 = ω .
Ahora, como dijiste, podemos invertir las cosas "preparadas" y "no preparadas" para obtener
ω ′ = Λ ω Λ − 1 − d Λ Λ − 1 ,
y es correcto de su parte hacer la pregunta, qué regla de transformación es correcta.

La resolución es observar la transformación de calibre. Originalmente fue

mi ′ = mi Λ .
Si invertimos el papel de los objetos imprimados y no imprimados, obtenemos
mi = mi ′ Λ ,
que puede reorganizarse como
mi Λ − 1 = mi ′ .

Así que puedes ver que cuando se invierte el papel de los objetos preparados y no preparados, el papel de Λ y Λ − 1 también se invierten.

Veamos cómo cambia la regla de transformación "segunda" cuando cambiamos haga un cambio Λ   − >   Λ − 1 :

Obviamente Λ ω Λ − 1 va a Λ − 1 ω Λ , entonces, ¿cómo funciona el término de Maurer-Cartan − d Λ Λ − 1 ¿cambiar? cambia a

− d ( Λ − 1 ) Λ ,
sin embargo porque Λ − 1 Λ = 1 , tenemos
0 = d 1 = d ( Λ − 1 Λ ) = d ( Λ − 1 ) Λ + Λ − 1 d Λ ,
entonces tenemos
− d ( Λ − 1 ) Λ = Λ − 1 d Λ .
Por lo tanto, si durante el "cebado" ↔ cambio "no preparado", también incurrimos en un Λ → Λ − 1 cambio, la regla de transformación "rara"
ω ′ = Λ ω Λ − 1 − d Λ Λ − 1
cambios a la regla de transformación original
ω ′ = Λ − 1 ω Λ + Λ − 1 d Λ .

Para traducir esto a la geometría GR/Riemann, observamos que para una conexión tangente Γ m v σ , los índices "interno" y "espacio-tiempo" son los mismos, y las "transformaciones de calibre" son las mismas que las transformaciones de coordenadas. Porque

∂ m ′ = ∂ X m ∂ X m ′ ∂ m ,
tenemos
Λ = ∂ X ∂ X ′
con índices suprimidos. Por supuesto, complica las expresiones exactas, que las transformaciones de calibre no se pueden separar de las transformaciones de coordenadas, por lo que aquí los tres índices se transforman, pero el primer índice inferior se transforma como un covector honesto.

TL; DR: cuando invierte los números primos, las coordenadas también se invierten, por lo tanto, las matrices de transformación de coordenadas deben cambiarse a sus inversas. Esto explica la discrepancia, ya que su "segunda" fórmula de transformación es correcta, pero se ve diferente porque se expresa con lo que sería el inverso de la matriz de transformación habitual.

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