¿Cómo es posible el producto punto o cruzado usando el operador del?

La divergencia de un campo vectorial no es un producto escalar genuino, y el rotacional de un campo vectorial no es un producto cruzado genuino.

$\nabla \cdot \vec A$es solo una notación sugerente que está diseñada para ayudarlo a recordar cómo calcular la divergencia del campo vectorial$\vec A$. La notación es buena, porque parece un producto escalar, pero como dices$\nabla$no es en realidad un vector.

Si te ayuda, puedes usar la notación alternativa

$$\operatorname{div}(\vec A) = \partial_x A_x + \partial_y A_y + \partial_z A_z$$

lo que hace que sea más fácil ver que$\operatorname{div}(\bullet)$es solo un operador que come un campo vectorial y escupe un campo escalar. Curl se puede definir de manera similar, aunque es difícil escribirlo en su totalidad.

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En coordenadas cartesianas, los productos punto y cruz se ven así:

$$\vec A \cdot \vec B = \sum_i A_i B_i$$ $$\left[\vec A \times \vec B\right]_i = \sum_{j,k}\epsilon_{ijk}A_jB_k$$

mientras que las operaciones de divergencia y rotacional se ven así:

$$\operatorname{div}(\vec B) = \sum_i \partial_i B_i$$ $$\big[\operatorname{curl}(\vec B)\big]_i = \sum_{j,k}\epsilon_{ijk} \partial_j B_k$$

La sorprendente similitud lleva a definir el operador vectorial$\nabla$, cuyas componentes son solo las derivadas parciales ($\nabla_i = \partial_i$). Sin embargo, como se señaló en los comentarios, esta similitud generalmente no se sostiene si cambia a un nuevo sistema de coordenadas.

Por ejemplo, en coordenadas cilíndricas$(\rho,\phi,z)$, el producto punto de dos vectores se convierte en

$$\vec A \cdot \vec B = A_\rho B_\rho + A_\phi B_\phi + A_z B_z$$ como antes, pero la divergencia se ve así:

$$\operatorname{div}(\vec B) = \frac{1}{\rho}\partial_\rho(\rho B_\rho) + \frac{1}{\rho}\partial_\phi B_\phi + \partial_z B_z$$

Me encanta esta pregunta y tenía mucha curiosidad al respecto, así que creé un video 3blue1brown para responderla con el video a continuación. Yo diría que uno no entiende/aprecia completamente la divergencia, el rizo o las ecuaciones de Maxwell a menos que entienda esto. Aquí está la versión en pocas palabras:

Esta conexión es difícil de conceptualizar porque, como dijiste, el operador del,$\nabla ,$no es un vector típico. Como un parásito o un virus, no tiene sentido por sí solo y necesita un 'huésped' para 'operar'. Si bien no puede pensar en él como un vector real, puede tratarlo como tal y usar los procesos estándar para productos punto y cruz. Esto produce las ecuaciones para la divergencia y el rotacional como se muestra a continuación, que simplemente se reducen a encontrar 4 componentes:$\frac{\partial P}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial y}, \frac{\partial Q}{\partial x},$y$\frac{\partial P}{\partial y}$.

Si tu$\frac{\partial P}{\partial x}$y$\frac{\partial Q}{\partial y}$son positivos, esto significa que$x$y$y$Los componentes de tus vectores se hacen más grandes cuando te mueves en el$x$y$y$dirección, respectivamente, que corresponde a la divergencia positiva. Si tu$\frac{\partial Q}{\partial x}$y$\frac{\partial P}{\partial y}$son positivas y negativas, respectivamente, esto significa que la$y$y$-x$Los componentes de tus vectores se hacen más grandes cuando te mueves en el$x$y$y$dirección, respectivamente, que corresponde a la rotación en sentido contrario a las agujas del reloj o rotacional positivo.

El campo vectorial que se ilustra a continuación tiene un valor positivo más grande$\frac{\Delta P}{\Delta x}$valor que es negativo$\frac{\Delta Q}{\Delta y}$valor, correspondiente a una divergencia ligeramente positiva. También tiene algo positivo$\frac{\Delta Q}{\Delta x},$y negativo$\frac{\Delta P}{\Delta y}$, correspondiente a un rizo positivo (en sentido contrario a las agujas del reloj).

Intento explicar esto más claramente en el video si deseas verlo, ¡y déjame saber si deseas discutir más! https://youtu.be/k7WyPNWerN0