En el apéndice A del texto de Electrodinámica de Griffith , cita el Cálculo de variedades de Spivak como una referencia más, un tratamiento más completo de la toma del gradiente, rotacional, divergencia y Laplaciano en sistemas de coordenadas generales. Esto me atrajo porque quería entenderlo desde el punto de vista de la geometría diferencial, en lugar de los largos cálculos ad hoc para coordenadas cilíndricas y esféricas. No he leído el libro de Spivak, pero tengo un poco de comprensión de la geometría diferencial básica (los dos primeros capítulos de la Introducción a las variedades de Tu). De todos modos, hay una versión en línea del texto de Spivak, pero mirando la tabla de contenido, no estoy muy seguro de dónde encontraría este tratamiento de los operadores diferenciales en coordenadas curvilíneas en su libro. Si alguien está familiarizado con él, ¿podría citar en qué parte del libro trata este tema? O si alguien está familiarizado con otra referencia o podría proporcionar una buena explicación, también sería muy apreciado.
No estoy completamente seguro de lo que quiere, pero honestamente, la totalidad del Cálculo de variedades de Spivak está dedicada exactamente a eso. Si quieres algo que te resulte familiar, simplemente puedes encontrar en varios sistemas de coordenadas en Wikipedia, pero si desea una vista menos centrada en las coordenadas, probablemente necesite salir de su zona de confort.
En particular, debe tener en cuenta que los conceptos de grad, curl y div no son particularmente útiles por sí mismos en una variedad arbitraria con coordenadas arbitrarias. En cambio, las funciones y los campos vectoriales se reemplazan por formas diferenciales, y div/grad/curl se reemplazan por la derivada exterior .
Con eso en mente, las secciones de Cálculo en variedades que tratan más directamente con estas cosas son §4.2 (Campos y formas), §5.2 (Campos y formas en variedades) y §5.3 (Teorema de Stokes en variedades). Sin embargo, sinceramente, deberías leerlo completo: es muy breve (137 páginas de letra grande en una página pequeña) y está deliciosamente construido. ¡Sinceramente, es una pequeña joya! (Por otro lado, la construcción compacta lo hace un poco denso a veces).
Más allá de esto, si desea una visión más amplia de lo que sucede con las funciones, los campos vectoriales y los operadores diferenciales en variedades más generales, realmente recomendaría Una introducción completa a la geometría diferencial de Spivak (vol. I). En particular, §3.4 (El haz tangente de una variedad) y los capítulos 7 (Formas diferenciales) y 8 (Integración) tratan de (las generalizaciones apropiadas de) desde una perspectiva geométrica diferencial general.
Diría que la página de Wikipedia sobre coordenadas curvilíneas y el artículo Lecciones de física matemática: gradiente, divergencia y curvatura en coordenadas curvilíneas de James Foadi son suficientes para comprender lo que está sucediendo.
qmecanico