Pregunté en los comentarios si sería bienvenida una respuesta que involucrara la notación de índice abstracto, y aparentemente lo fue.

Colectores

porque estas hablando de$\nabla$, saltemos al fondo con los colectores. Tienes un espacio de puntos$\mathcal M$y algún campo de números$\mathbb F$(generalmente los números reales$\mathbb R$o los números complejos$\mathbb C$); se convierte en un "múltiple" a medida que comenzamos a dotarlo con un conjunto de campos escalares "permitidos"$\mathcal S \subseteq (\mathcal M \to \mathbb F)$que consideramos como "funciones suaves". Para hacer más preciso ese punto, uno puede imaginar las funciones suaves existentes entre los números que entendemos mucho mejor, de$\mathbb F^n \to \mathbb F$. este espacio$C^\infty(\mathbb F^n,~\mathbb F)$de estas funciones se puede utilizar como una relación de cierre, con el siguiente diagrama de categorías,

Tenga en cuenta que este es un diagrama abstracto y hay círculos implícitos para$n=0,1,2,\dots$. Así que a la izquierda tenemos estos$n$-tuplas de campos escalares$\mathcal S^n$; estos normalmente irían de$\mathcal M^n \to \mathbb F^n$pero estamos aplicando todos los campos escalares al mismo punto de origen, por lo que hay una función implícita$\mathcal M\to\mathcal M^n$allí también. A la derecha tenemos estas funciones suaves, el "diagrama de categorías" dice que componer cualquier$n$-tupla de funciones escalares con cualquiera de estas funciones suaves de la apropiada$n$, produce otro campo escalar, otra de estas flechas superiores. Y el punto es, cada función suave de$\mathbb F^n$a$\mathbb F$ahora disfruta de una especie de doble estado, por un lado es una función suave convencional; por otro lado, se puede "levantar" a una función de$\mathcal S^n \to \mathcal S,$y decimos que estos campos escalares son uniformes precisamente porque están cerrados bajo todas estas funciones elevadas. Para abreviar, permítanme llamar a tal función una$n$-functor y lo denotamos con llaves cuando se aplica a campos escalares o paréntesis cuando se aplica a números, de modo que

$$f[s_1,~s_2,~s_3](p) = f\big(s_1(p),~s_2(p),~s_3(p)\big).$$

Quiero mencionar un par de estas funciones en particular: la adición de campos escalares ahora está definida porque$(+)$es un 2-funtor, y ahora se define la multiplicación puntual de campos escalares porque$(\cdot)$es un 2-funtor. También tenemos multiplicaciones escalares y sumas escalares por cualquier constante en$\mathbb F$porque esos son 1-funtores, y tenemos campos constantes porque esos son 0-funtores. No usaré llaves cuadradas para ninguno de esos. Finalmente, resulta que uno puede derivar una topología natural del conjunto de campos que usa (esta es una de las razones por las que no desea usar simplemente$\mathcal S = (\mathcal M \to \mathbb F),$obtienes la topología discreta en el espacio) - para esto es útil que la función de choque sea un 1-funtor.

¿Qué hace que esta cosa sea$D$-variedad dimensional es el axioma de que para todo punto$p\in\mathcal M$hay algún conjunto abierto que contiene ese punto donde$D$de estos campos escalares, "campos de coordenadas locales", se pueden usar para (a) distinguir puntos dentro de ese conjunto abierto, y (b) representar cualquier otro campo escalar como un$D$-functor aplicado a estos campos de coordenadas. También hay algunos otros axiomas necesarios, como si un campo escalar se define por partes en un mosaico de todos estos espacios de manera consistente, entonces también debería estar en$\mathcal S$, pero vamos a saltearlos por brevedad.

Campos vectoriales

Ahora existe una buena definición del espacio de campos vectoriales en$\mathcal M$pero es un poco abstracto: es el espacio de las derivadas direccionales, que se llaman derivaciones , sobre la variedad. Formalmente:$\mathcal V$es el subconjunto de funciones de$\mathcal S \to \mathcal S,$que obedecen la ley de Leibniz: si$V$está en este subconjunto entonces su acción en cualquier$n$-funtor está dado por

$$V\big(f[s_1,\dots s_n]\big) = \sum_{i=1}^n f_{(i)}[s_1,\dots s_n]\cdot V(s_i),$$ dónde $f_{(i)}$es la derivada de $f$con respecto a su $i^\text{th}$argumento. (¡Hay mucha maquinaria funcionando aquí! Estoy diciendo: vuelve a lo que $f$es como una función de números a números, toma la derivada, la función resultante es una $n$-funtor, aplíquelo a estos campos escalares como tales, luego multiplíquelos puntualmente con $V$aplicado a los campos escalares individuales, luego resuma todo).

¿Por qué sería esto un "campo vectorial"? Bueno, volvamos a nuestro axioma de coordenadas: todo campo escalar es un$D$-funtor de los campos de coordenadas en el conjunto abierto. Esto significa que en este conjunto abierto, dada la$D$"componentes"$v_i = V(c_i)$(que también son campos escalares), la operación de$V$en un campo escalar$s$está dada únicamente por$V s = \sum_i v_i\cdot s_{(i)}.$Entonces, esos componentes definen completamente el vector y, de hecho, creo que puedes usar (según el axioma del mosaico) cualquier$D$-tupla de campos escalares para crear uno de estos.

El espacio de los campos vectoriales$\mathcal V$es, perversamente, no del todo un espacio vectorial sobre el campo $\mathcal S$, y esto es porque$\mathcal S$viola los axiomas de campo: puede tener una función que es cero en la mitad superior de la esfera y una función que es cero en la mitad inferior de la esfera, y multiplicarlas para obtener el$0$-elemento que es cero en toda la esfera: y los axiomas de campo prohíben los divisores de cero. (Supongo que más directamente: cada una de esas funciones no tiene inverso multiplicativo, pero no es el elemento cero). En cambio, tenemos que decir que$\mathcal V$es un módulo sobre el anillo conmutativo $\mathcal S.$

Álgebra tensorial

Ahora que tenemos los campos vectoriales$\mathcal V$inventamos el espacio covector$\bar {\mathcal V}$, que es el espacio de mapas lineales de vectores a campos escalares,$\bar{\mathcal V} = \operatorname{Hom}(\mathcal V, \mathcal S).$Este espacio también es un módulo más$\mathcal S,$con multiplicación escalar que significa "multiplicar la salida de campo escalar de este covector, puntualmente, por el campo escalar dado" y suma que significa "sumar las salidas de campo escalar de estos dos covectores". De hecho, para todos los pares de números naturales, hay un módulo de operadores multilineales de$m$covectores y$n$vectores a campos escalares, el espacio de$[m, n]$-campos tensoriales

$$\mathcal T[m, n] = \operatorname{Hom}(\mathcal V^n\times\bar{\mathcal V}^m, \mathcal S).$$ Para tratar con estos, hay muchas notaciones que se han inventado en todo el mundo. Ahora les voy a mostrar la conocida como notación de índice abstracto.

Índices abstractos

La idea es que creemos copias de los$[m, n]$espacio tensorial para cualquier conjunto de$m+n$símbolos distintos y denotarlo en consecuencia,$\mathcal T^{abc}_{de}$siendo una copia del espacio de$[3, 2]$-tensores. Cada elemento de este espacio también debe etiquetarse con los símbolos apropiados, y para los elementos individuales también puede ser necesario que estén en algún orden particular (para el espacio tensorial, los símbolos superior e inferior son independientes del orden).

Esto nos revela dos cosas: una familia de productos externos , por ejemplo uno de estos mapas de productos externos$\mathcal T^{ab}_e \times \mathcal T^c_d \mapsto \mathcal T^{abc}_{de}$. Creo que el significado de esto es bastante sencillo: el mapa multilineal$A^{ab}_e ~ B^c_d$toma como argumento los dos vectores$u^d, ~ v^e$y los tres covectores$r_a, s_b, t_c$y produce los dos campos escalares$A^{ab}_e~r_a~s_b~v^e$y$B^c_d~t_c~u^d$y luego multiplica esos dos juntos para obtener su resultado final. Usamos la yuxtaposición directa de los subtensores para denotar este producto externo.

Lo siguiente que obtenemos es la contracción , que requiere un axioma: dada una$[m, n]$-tensor hay alguna descomposición del mismo en términos de una suma de grandes productos externos de$m$vectores y$n$covectores. Una vez que esto existe, puede simplemente aplicar uno de los covectores a uno de los vectores, lo que crea un escalar, y un escalar multiplicado por un tensor es solo un tensor. Como puede imaginar, denotamos esto repitiendo un índice tanto arriba como abajo. Entonces$A^{mn}_m$es una contracción que vive ahora en$\mathcal T^n$. Viene de algún tensor$A^{an}_b$por medio de este axioma: ese tensor era una suma de productos externos:

$$A^{an}_b = \alpha^a~\beta^n~\gamma_b + \dots + \chi^a~\psi^n~\omega_b.$$ La contracción resultante es el vector $(\gamma_m~\alpha^m)\beta^n + \dots + (\omega_m~\chi^m)~\psi^n.$Esos términos entre paréntesis son aplicaciones de un covector a un vector para producir un escalar, por lo que solo estamos sumando múltiplos escalares de vectores para crear un nuevo vector. Así que esta es la noción de traza independiente de las coordenadas que se puede usar para reducir cualquier $[m, n]$-tensor a un $[m-1,n-1]$-campo tensor, siempre que ninguno de esos dos números resultantes sea negativo.

Nota: Di por sentado anteriormente un isomorfismo de reetiquetado importante , que identifica qué$\alpha^m$es el vector correcto para representar$\alpha^a$en un espacio totalmente diferente (se vive en$\mathcal T^a$, uno vive en$\mathcal T^m$). Podemos escribir este isomorfismo de reetiquetado más explícitamente como el tensor$\delta^a_m$ya que describe cómo tomar cualquier covector en$\mathcal T_a$que habría operado directamente sobre$\alpha^a$, y lo hace operar en cambio en un vector en$\mathcal T^m.$Entonces, esta es una versión independiente de las coordenadas del "delta de Kronecker".

productos punto y cruz,$\nabla$

Finalmente, los productos punto y los productos cruzados deben implementarse más directamente. Bueno, eso es fácil: ¡son tensores en el espacio!

El producto punto es un mapa multilineal de dos vectores a un escalar, por lo que es un$[0, 2]$-tensor$g_{ab},$llamado tensor métrico . Es simétrica en sus dos entradas,$g_{ab} = g_{ba}.$tiene un inverso$g^{ab}$tal que$g^{ab}~g_{bc} = \delta^a_c,$y su inversa es naturalmente también simétrica. Así como el isomorfismo de reetiquetado es una identificación canónica de diferentes espacios vectoriales, la métrica es una identificación canónica de vectores con covectores, cada vector$\vec v$corresponde al covector$(\vec v\cdot)$canónicamente Usualmente indicamos esto usando el mismo símbolo para el vector, por ejemplo$v_a = g_{ab}~v^b.$También podemos hacer esto con tensores; por lo general, tratamos de mantener los índices en la misma posición horizontal mientras cambiamos su posición vertical de arriba hacia abajo, de modo que, por ejemplo,

$$M^{ij}_{~~~k} = g^{ia}~g^{jb}~M_{ijk}.$$

Un tensor de orientación en$D$dimensiones es totalmente antisimétrica$[0, D]$-tensor, por lo que en 3 dimensiones es$\epsilon_{abc},$implementando el producto cruz entre dos vectores. Por lo general, se toma para que

$$\epsilon^{ij\dots n}~\epsilon_{ij\dots n} = g^{ai}~g^{bj}~\dots g^{fn}~\epsilon_{ij\dots n}~\epsilon_{ab\dots f} = \pm D!,$$ que por lo general hace que los componentes individuales $\pm 1$en alguna base adecuada. La elección de $\pm$en $\pm D!$suele estar relacionado con el determinante de $g$o algo así, así que cuando llegas al espacio de Minkowski, creo que -24 se usa con más frecuencia, pero en el espacio 3D se usa +6 y en 4D Euclidean probablemente usarías +24 en su lugar.

Por razones que no puedo explicar debido a la longitud de la respuesta,$\nabla_i$requiere una definición más cuidadosa: la estructura geométrica que encarna se denomina "conexión" en el espacio, y resulta que hemos definido de manera única su operación en campos escalares,$v^i~\nabla_i~s$ser$V s$directamente: pero su definición sobre campos vectoriales está sujeta a una ambigüedad hasta un$[1, 2]$campo tensor (cuando transportas un vector a lo largo de otro vector, ¿qué vector resulta?). Sin embargo, se puede elegir uno en particular para que no tenga "torsión" y para que el tensor métrico no tenga derivada, esto se llama "conexión Levi-Civita", y esto es lo que generalmente usamos. De todos modos, todo lo que quería decir aquí es que claramente tiene un índice de covector natural, debido a cómo lo usamos en escalares.

Introduciendo coordenadas explícitas de nuevo

Todos los índices anteriores son abstractos , solo significan pertenecer a un conjunto y permiten cierta contabilidad creativa. Pero eventualmente querrás introducir algún tipo de coordenadas sobre el espacio y hacer algunos cálculos reales. Cuando quiera hacer esto, básicamente construye dentro del espacio sus vectores de base local$c_1^a, c_2^a, \dots c_D^a.$Es útil elegir dos conjuntos de símbolos que no se superpongan, por ejemplo, los índices griegos son índices abstractos, los romanos son sustitutos de números. Entonces estos vectores de coordenadas son$c_a^\alpha$.

Construimos un conjunto de "vectores duales" a estos, realmente covectores,$c^a_\alpha$. La idea es que estos deben ser perpendiculares a todos los que no son su vector "objetivo", y deben escalarse para que su producto con su vector objetivo sea 1:

$$c^m_{\alpha}~c_n^\alpha = \delta^m_n.$$ Este es ahora tu Kronecker normal $\delta$símbolo a la derecha, no es algún tipo de isomorfismo inteligente. Ahora cualquier vector $v^\alpha$puede ser operado por estos vectores duales para obtener algunos componentes $v^a = c^a_\alpha~v^\alpha$que la caracterizan plenamente en cuanto a estos campos. A continuación, puede construir el original a partir de estos componentes, $v^\alpha = \sum_a v^a~c_a^\alpha.$

Al comprender las operaciones de$\nabla_\alpha$en los campos de componentes, uno obtiene cosas como los símbolos de Christoffel.

Ahora, en el espacio euclidiano plano 3D, cada campo escalar es una función suave de la$x, y, z$campos del espacio, y cada campo vectorial tiene componentes canónicas de campo escalar$v_x, v_y, v_z$definido en todo el espacio. Si los escribe como un vector de columna, los covectores son vectores de fila y nuestra métrica euclidiana habitual identifica cada vector con su covector como una transposición.

Como consecuencia$g_{mn} = c^\mu_m c^\nu_n g_{\mu\nu}$por ejemplo, también es un delta de Kronecker, por lo que normalmente se olvida por completo la distinción entre índices superior e inferior, el producto vectorial$\vec u \cdot \vec v$es matemáticamente igual a$\sum_i u_i~v_i,$y hasta podemos borrar eso$\sum_i$si usamos la convención de suma de Einstein. Entonces ahora sabe que en la "tierra pura" de la que provienen estos componentes, cada índice inferior debe equilibrarse con uno superior; pero en este mundo más simple es mucho más fácil, solo necesitan emparejarse para implicar la suma sobre sus componentes, lo que implica un producto geométricamente significativo. En este sentido debe considerar$\epsilon_{ijk}~\partial_j~B_k$: desde$j$y$k$se repiten, esto se suma implícitamente sobre esos componentes; el índice de repuesto$i$indica que lo que queda son los componentes de un$[1, 0]$-tensor.

Así que la versión "geométricamente correcta" sería$\epsilon^{\lambda\mu}_{~~~~\nu}~\nabla_\mu~B^\nu,$más o menos; pero sabemos que estamos en un espacio 3D plano, por lo que sabemos que no hay nada de malo en simplemente dejar de fingir, siempre y cuando nos pongamos nerviosos con cosas como "Repetí este índice tres veces, ¿eso causa una suma de Einstein ? " (Respuesta: Sí, pero ¿qué estás haciendo?)