Significado de los objetos inyectivos en una categoría

No sé ustedes, pero para mí las motivaciones puramente algebraicas funcionan mejor para motivar construcciones en álgebra homológica.

Las sucesiones exactas (cortas) son sin duda una herramienta muy útil en álgebra conmutativa y me parece muy natural preguntar qué les sucede después de aplicar funtores canónicos como$-\otimes_R M$o$\operatorname{Hom}_R(M,-)$o$\operatorname{Hom}(-,M)$. Los tres conservan subproductos y, por lo tanto, dividen secuencias exactas. Uno podría esperar que tales funtores aditivos conserven secuencias exactas en general, pero desafortunadamente, resulta que solo conservan la propiedad de que los morfismos sucesivos se compongan a cero. (Esta es la mejor razón para considerar la categoría de complejos de cadena que conozco, pero supongo que esta no era la pregunta).

Los tres funtores anteriores no conservan secuencias exactas cortas. Pero son tan importantes que uno podría desear tratar de encontrar objetos$M$, para lo cual conservan secuencias exactas cortas. Estos son precisamente los objetos planos, proyectivos e inyectivos respectivamente. Al estudiarlos en detalle, se observa que pueden caracterizarse en términos de propiedades de elevación.

Ahora suponga que tiene algún objeto$M_0$para el cual uno de los funtores no es exacto. Tal vez de alguna manera puedas reemplazar$M_0$Con algo$N_0$¿Para qué es exacto? no podemos esperar$M_0$y$N_0$ser isomorfo (un funtor isomorfo a un funtor exacto es en sí mismo exacto), por lo que obtendremos algún objeto$M_1$midiendo su diferencia. Esto puede resultar en otro funtor no exacto, pero podríamos intentar reemplazarlo nuevamente por algún$N_1$, que da un funtor exacto. Esta es la idea de resolver un objeto y las propiedades de elevación son muy útiles para hacerlo preciso: solo necesitamos tener suficientes objetos planos/proyectivos/inyectivos...

Imagina que tienes un funtor aditivo exacto a la izquierda$F$(en una categoría abeliana no especificada, que asumimos es lo suficientemente agradable para que el siguiente razonamiento informal tenga algún sentido, generalmente módulos) y que un oráculo le dice que$R^1F$existe

Más allá de la euforia, te das cuenta con cierta consternación de que esto te dijo poco útil: debido a su "definición" (o más bien, la falta de ella, ya que fingiremos que aún no conoces las inyectivas), las propiedades son tan irremediablemente autosuficientes. referente que nunca podrá calcular ni una sola instancia de$R^1F$.

Entonces se le ocurre una idea. “Está bien”, te dices a ti mismo, “esta versión platónica ideal de$R^1F$existe Pero no puedo hacer nada con eso. Así que, en lugar de eso, intentaré hacer mi propia versión de este funtor”. [que llamaremos$DF$]

¿Cuál fue el propósito de$(R^1F)A$¿de todos modos? Fue para cuantificar el cokernel de$FB \rightarrow FC$dónde$0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0$es exacto: cada cokernel inyecta en$(R^1F)A$.

“Entonces”, decides, “la parte útil de$(R^1F)A$, que llamaremos$DF(A)$, podría ser el subobjeto de$(R^1F)A$generado por todos estos cokernels [sí, aquí hay un problema. Sí, es irrelevante y haremos como que no existe]. En un mundo justo, debería ser exactamente como$(R^1F)A$.”

Entonces, ¿cuándo$DF(A)$¿desaparecer? “Cuando”, razona, “cada secuencia exacta como la anterior sigue siendo exacta después de aplicar$F$. Si eso es posible”, agrega apresuradamente, asustado por lo audaz que era su suposición, “porque es solo una condición suficiente, el criterio real es probablemente mucho más complejo”.

Pero, ¿cómo podría verificar esa propiedad poco realista? “Bueno”, reflexionas, “dado que ya estamos en el reino de la especulación salvaje, tal vez… ¿cuando cada secuencia exacta como la anterior se divide? Sé que me estoy aferrando a un clavo ardiendo, pero ¿qué más puedo sugerir?”.

Como habrás adivinado, los objetos$A$tal que cualquier exacto$0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0$las divisiones son los objetos inyectivos.

Esta va a ser una larga historia, pero déjame tratar de explicar cómo nos vemos inevitablemente llevados a resoluciones inyectivas y funtores derivados si queremos estudiar cadenas complejas hasta "invariancia de homología" (= cuasi-isomorfismo).

Dejar$\mathcal{A}$ser una categoría abeliana. Dejar$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$ser la categoría de cadenas complejas en$\mathcal{A}$. Usaré la clasificación homológica y escribiré$\partial$para el operador diferencial. Desde$\mathcal{A}$es abeliana, el álgebra homológica básica se puede aplicar a cadenas complejas en$\mathcal{A}$. Supongamos que estamos interesados ​​en estudiar cadenas complejas en$\mathcal{A}$pero queremos considerar los complejos de cadenas iguales si tienen la misma homología. Esto nos lleva a definir:

Definición. Un cuasi-isomorfismo de cadenas complejas en$\mathcal{A}$es un morfismo$f : A \to B$en$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$tal que, para todo número entero$n$, el morfismo inducido$\mathrm{H}_n (f) : \mathrm{H}_n (A) \to \mathrm{H}_n (B)$de objetos de homología es un isomorfismo en$\mathcal{A}$. La categoría derivada $\mathbf{D} (\mathcal{A})$es la categoría obtenida al invertir libremente los cuasi-isomorfismos en$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$.

Eso significa que tenemos un funtor$\gamma : \textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \mathbf{D} (\mathcal{A})$que envía cuasi-isomorfismos en$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$a los isomorfismos en$\mathbf{D} (\mathcal{A})$, y cada funtor$\textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \mathcal{C}$que envía cuasi-isomorfismos en$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$a los isomorfismos en$\mathcal{C}$factores a través del funtor$\gamma : \textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \mathbf{D} (\mathcal{A})$de una manera única. Por ejemplo, los funtores de homología$\textrm{H}_n : \textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \mathcal{A}$ciertamente envía cuasi-isomorfismos a los isomorfismos, por lo que inducen funtores$\mathbf{D} (\mathcal{A}) \to \mathcal{A}$.

Pero, ¿cuáles son los morfismos de$\mathbf{D} (\mathcal{A})$? Resulta que todo morfismo$\gamma P \to \gamma Q$en$\mathbf{D} (\mathcal{A})$es de la forma$(\gamma j)^{-1} \circ \gamma f$por algún morfismo$f : P \to \hat{Q}$y cuasi-isomorfismo$j : Q \to \hat{Q}$en$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$. Además,$\mathbf{D} (\mathcal{A})$Tiene una estructura aditiva y$\gamma : \textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \mathbf{D} (\mathcal{A})$es aditivo. Entonces, para cada$Q$en$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$,$P \mapsto \textrm{Hom}_{\mathbf{D} (\mathcal{A})} (\gamma P, \gamma Q)$define un funtor$\textbf{Ch} (\mathcal{A})^\textrm{op} \to \textbf{Ab}$que envía cuasi-isomorfismos a isomorfismos, y$Q \mapsto (P \mapsto \textrm{Hom}_{\mathbf{D} (\mathcal{A})} (\gamma P, \gamma Q))$define un funtor$\textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to [\textbf{Ch} (\mathcal{A})^\textrm{op}, \textbf{Ab}]$que envía cuasi-isomorfismos a isomorfismos. ¿Cuál es su relación con$Q \mapsto (P \mapsto \textrm{Hom}_{\textbf{Ch} (\mathcal{A})} (P, Q))$?

Definición. Dejar$P$y$Q$ser cadenas complejas en$\mathcal{A}$. El complejo de la cadena$\textrm{Hom}_\mathcal{A} (P, Q)$de grupos abelianos se define de la siguiente manera:

$$\begin{align} \textrm{Hom}_\mathcal{A} (P, Q)_n & = \prod_m \textrm{Hom}_\mathcal{A} (P_m, Q_{m + n}) \\ (\partial (f))_m & = \partial \circ f_{m+1} - (-1)^n f_m \circ \partial \end{align}$$

Observe que los ciclos 0 de$\textrm{Hom}_\mathcal{A} (P, Q)$son precisamente los morfismos$P \to Q$en$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$, mientras que el grupo de homología$\mathrm{H}_0 (\textrm{Hom}_\mathcal{A} (P, Q))$se puede identificar con las clases de morfismos de homotopía de cadena$P \to Q$. De todos modos, variando$P$, obtenemos un funtor$\textrm{Hom}_\mathcal{A} (-, Q) : \textbf{Ch} (\mathcal{A})^\textrm{op} \to \textbf{Ch} (\textbf{Ab})$. Desafortunadamente, no conserva cuasi-isomorfismos en general, por lo que$\mathrm{H}_0 (\textrm{Hom}_\mathcal{A} (P, Q))$es diferente de$\textrm{Hom}_{\mathbf{D} (\mathcal{A})} (P, Q)$.

Definición. Un complejo de cadena inyectable K en$\mathcal{A}$es un complejo de cadenas$Q$en$\mathcal{A}$tal que$\textrm{Hom}_\mathcal{A} (-, Q) : \textbf{Ch} (\mathcal{A})^\textrm{op} \to \textbf{Ch} (\textbf{Ab})$conserva cuasi-isomorfismos.

Proposición. Dejar$Q$ser una cadena compleja en$\mathcal{A}$. Los siguientes son equivalentes:

1. $Q$es un complejo de cadena inyectable K en$\mathcal{A}$.
2. $\gamma \textrm{Hom}_\mathcal{A} (-, Q) : \textbf{Ch} (\mathcal{A})^\textrm{op} \to \mathbf{D} (\textbf{Ab})$envía cuasi-isomorfismos en$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$a los isomorfismos en$\mathbf{D} (\textbf{Ab})$.
3. $\mathrm{H}_0 (\textrm{Hom}_\mathcal{A} (-, Q)) : \textbf{Ch} (\mathcal{A})^\textrm{op} \to \textbf{Ab}$envía cuasi-isomorfismos en$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$a los isomorfismos en$\textbf{Ab}$.

Prueba. En su mayoría sencillo. El truco para pasar del enunciado 3 al enunciado 1 es observar que

$$\mathrm{H}_n (\textrm{Hom}_\mathcal{A} (P, Q)) \cong \mathrm{H}_0 (\textrm{Hom}_\mathcal{A} (P [-n], Q))$$ dónde$P [-n]$es el complejo de cadenas definido por$P [-n]_m = P_{m - n}$con diferencial$P [-n]_m \to P [-n]_{m - 1}$dada por$(-1)^n$veces el diferencial$P_{m - n} \to P_{m - n - 1}$, y este isomorfismo es natural en$P$(y$Q$también). ◼

En otras palabras, un complejo de cadena con inyección de K es un complejo de cadena que "percibe" cuasi-isomorfismos como equivalencias de homotopía de cadena. He aquí un ejemplo de este fenómeno:

Lema. Dejar$g : Q \to P$ser un morfismo en$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$. Si$Q$es K-inyectivo y$g : Q \to P$es un cuasi-isomorfismo, entonces hay un morfismo$f : P \to Q$en$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$tal que$f \circ g : Q \to Q$es cadena homotópica a$\textrm{id}_Q$.

Prueba. El homomorfismo inducido$\mathrm{H}_0 (\textrm{Hom}_\mathcal{A} (P, Q)) \to \mathrm{H}_0 (\textrm{Hom}_\mathcal{A} (Q, Q))$es un isomorfismo. En particular, la clase de homología de$\textrm{id}_Q$tiene una preimagen, digamos representada por un ciclo 0$f$en$\textrm{Hom}_\mathcal{A} (P, Q)$, es decir, un morfismo$P \to Q$en$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$. Pero eso significa$g \circ f$está en la misma clase de homología que$\textrm{id}_Q$, y las clases de homología de 0-ciclos en$\textrm{Hom}_\mathcal{A} (Q, Q)$son las clases de homotopía de la cadena de morfismos$Q \to Q$en$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$, así que hemos terminado. ◼

Corolario. Si ambos$P$y$Q$son complejos de cadena inyectiva K en$\mathcal{A}$, Entonces los siguientes son equivalentes:

1. $f : P \to Q$es un cuasi-isomorfismo en$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$.
2. $f : P \to Q$es una equivalencia de homotopía en cadena en$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$. ◼

¿Por qué importa esto? Bueno, para un funtor aditivo general$F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$, el funtor inducido$\textbf{Ch} (F) : \textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \textbf{Ch} (\mathcal{B})$no se garantiza que conserve cuasi-isomorfismos. En efecto,$\textbf{Ch} (F)$preservar cuasi-isomorfismos es equivalente a$F$conservando secuencias exactas (cortas). Pero$\textbf{Ch} (F)$siempre conserva las equivalencias de homotopía de la cadena. Entonces, si hubiera una "mejor aproximación" de$\textbf{Ch} (F)$por un funtor que conserva cuasi-isomorfismos, y cada cadena compleja en$\mathcal{A}$es cuasi-isomorfa a una K-inyectiva, entonces la "mejor aproximación" debe ser determinada por la restricción de$\textbf{Ch} (F)$a la subcategoría completa de complejos de cadena K-inyectivos en$\mathcal{A}$.

Definición. El funtor derecho derivado de un funtor$G : \textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \mathcal{C}$es un funtor$\mathbf{R} G : \mathbf{D} (\mathcal{A}) \to \mathcal{C}$equipado con una transformación natural$\eta : G \Rightarrow (\mathbf{R} G) \gamma$tal que, para todo funtor$H : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$y cada funtor$K : \mathbf{D} (\mathcal{A}) \to \mathcal{D}$y toda transformación natural$\phi : H G \Rightarrow K \gamma$, hay una transformación natural única$\psi : H \mathbf{R} G \Rightarrow K$tal que$\psi \gamma \bullet \eta = \phi$.

(Esto es más fuerte que la definición original de Verdier).

Teorema. Dejar$G : \textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \mathcal{C}$sea ​​un funtor que envíe equivalencias de homotopía en cadena en$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$a los isomorfismos en$\mathcal{C}$. Supongamos para cada cadena compleja$P$en$\mathcal{A}$tenemos un cuasi-isomorfismo$j_P : P \to \hat{P}$en$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$dónde$\hat{P}$es un complejo de cadena inyectable K en$\mathcal{A}$. Entonces el funtor derivado por la derecha$\mathbf{R} G : \textbf{D} (\mathcal{A}) \to \mathcal{C}$existe y$\eta_Q : G Q \to (\mathbf{R} G) (\gamma Q)$es un isomorfismo para cada complejo de cadena inyectiva K$Q$en$\mathcal{A}$.

Prueba. Puede hacerlo directamente, pero es útil introducir la categoría$\mathbf{K} (\mathcal{A})$, cual es$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$homotopía de la cadena módulo. En$\mathbf{K} (\mathcal{A})$, para cada morfismo$f : P \to Q$, hay un único morfismo$\hat{f} : \hat{P} \to \hat{Q}$tal que el siguiente diagrama conmuta:

$$\require{AMScd} \begin{CD} P @>{j_P}>> \hat{P} \\ @V{f}VV @VV{\hat{f}}V \\ Q @>>{j_Q}> \hat{Q} \end{CD}$$ (Esto no siempre es cierto en$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$!) Así podemos hacer$P \mapsto \hat{P}$y$f \mapsto \hat{f}$en un funtor de$\mathbf{K} (\mathcal{A})$a la subcategoría completa$\mathbf{K} (\mathcal{A})_\textrm{K-inj}$de complejos de cadena inyectiva de K (homotopía de cadena módulo). Desde$j_P : P \to \hat{P}$es un isomorfismo en$\mathbf{K} (\mathcal{A})$si$P$es K-inyectivo, esto exhibe$\mathbf{K} (\mathcal{A})_\textrm{K-inj}$como una subcategoría reflexiva de$\mathbf{K} (\mathcal{A})$. Darse cuenta de$\hat{f} : \hat{P} \to \hat{Q}$es un isomorfismo en$\textbf{K} (\mathcal{A})_\textrm{K-inj}$si$f : P \to Q$es un cuasi-isomorfismo, por lo que obtenemos un funtor$R : \mathbf{D} (\mathcal{A}) \to \textbf{K} (\mathcal{A})_\textrm{K-inj}$dónde$R (\gamma P) = \hat{P}$y$R (\gamma f) = \hat{f}$.

También puedes mostrar que$\mathbf{K} (\mathcal{A})$es también la categoría que se obtiene invirtiendo libremente la cadena de equivalencias de homotopía en$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$, entonces$G : \textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \mathcal{C}$factores a través del cociente$\textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \mathbf{K} (\mathcal{A})$, saya s$\bar{G} : \mathbf{K} (\mathcal{A}) \to \mathcal{C}$. Entonces puedes comprobar que tomando$(\mathbf{R} G) = \bar{G} R$y$\eta_P : G P \to (\mathbf{R} G) (\gamma P)$ser$G j_P : G P \to G \hat{P}$obras. ◼

Esperemos que lo anterior lo convenza de que los complejos de cadena de inyección de K son importantes. Pero, ¿qué son, en términos más elementales?

Proposición. Dejar$Q$ser una cadena compleja en$\mathcal{A}$concentrado en grado 0. Son equivalentes:

1. $Q$es un complejo de cadena inyectable K en$\mathcal{A}$.
2. $Q_0$es un objeto inyectivo en$\mathcal{A}$.

Prueba. Esencialmente,$\textrm{Hom}_\mathcal{A} (-, Q) : \textbf{Ch} (\mathcal{A})^\textrm{op} \to \textbf{Ch} (\textbf{Ab})$se puede identificar con$\textrm{Hom}_\mathcal{A} (-, Q_0): \textbf{Ch} (\mathcal{A})^\textrm{op} \to \textbf{Ch} (\textbf{Ab})$. (Hay una sutileza sobre los signos en los diferenciales.) Este último conserva cuasi-isomorfismos si y solo si$\textrm{Hom}_\mathcal{A} (-, Q_0) : \mathcal{A}^\textrm{op} \to \textbf{Ab}$es exacto Pero esa es la definición de objeto inyectivo, así que hemos terminado. ◼

Entonces, los ejemplos más simples de complejos de cadena K-inyectivos son objetos inyectivos. Más generalmente:

Proposición. Dejar$Q$sea ​​una cadena compleja de objetos inyectivos en$\mathcal{A}$. Si$Q$está acotado arriba (es decir, hay un número entero$N$tal que$Q_n = 0$para todos$n \ge N$), entonces$Q$es K-inyectivo.

(Prueba omitida).

Desafortunadamente, no es cierto que los complejos de cadena inyectiva K sean complejos de cadena de inyectivas. Por ejemplo, para cualquier objeto$A$en$\mathcal{A}$,

$$\begin{CD} \cdots @>>> 0 @>>> A @>{\textrm{id}}>> A @>>> 0 @>>> \cdots \end{CD}$$ es un complejo de cadena inyectable K en$\mathcal{A}$, porque la propiedad de ser K-inyectivo es invariante de equivalencia de homotopía de cadena, y$0$es ciertamente un complejo de cadena inyectiva de K. No obstante, espero que esto lo convenza de que la inyectividad es una noción natural en el contexto del álgebra homológica y no simplemente algo que funciona bien.