Pregunta de funtor derivado muy básica.

La página de Wikipedia a la que hace referencia no parece dar la construcción completa, que es la siguiente.

Uno comienza con un monomorfismo.$\iota\colon X\rightarrowtail I^0$a un objeto inyectivo. Luego, para obtener una sucesión exacta, queremos factorizar a través del conúcleo de$\iota$, entonces tomamos el epimorfismo canónico$\epsilon^0\colon I^0 \twoheadrightarrow \operatorname{coker} \iota$y componerlo con un monomorfismo$\iota^1\colon \operatorname{coker} \iota \rightarrowtail I^1$, que existe porque tenemos suficientes inyectivas.

Inductivamente, el diferencial$d^n\colon I^n \to I^{n+1}$es la composicion$\iota^{n+1}\circ\epsilon^n$del epimorfismo canónico$\epsilon^n\colon I^n \twoheadrightarrow \operatorname{coker} \iota^n$y un monomorfismo$\iota^{n+1}\colon \operatorname{coker} \iota^n\rightarrowtail I^{n+1}$.

Debería poder probar por sí mismo que la secuencia resultante es exacta (p. ej., mediante una secuencia de diagramas).