Aplicaciones sorprendentes de la cohomología

He aquí una aplicación ridícula de la cohomología: una prueba de

Dejar$X=(S_1)^n$ser el$n$-toro dimensional. Por la fórmula de Künneth,$H^j(X, \mathbf Q)$tiene dimensión${n \choose j}$. Por lo tanto, la característica de Euler de$X$es

Por otro lado,$X$es un grupo de Lie compacto; dejar$\sigma$ser una traducción infinitesimal$X \to X$. Por el teorema del punto fijo de Lefschetz,$\chi(X)$es igual al número de puntos fijos de$\sigma$, es decir,$0$.

Cerca de una aplicación del mundo real es quizás la aplicación a elementos finitos mixtos.

Cálculo exterior de elementos finitos

En pocas palabras: en lugar de resolver numéricamente

Los elementos finitos mixtos se utilizan, por ejemplo, en elasticidad o dinámica de fluidos, donde la presión$p$un multiplicador de Lagrange, vive naturalmente en diferentes espacios que la deformación$\varphi$del material. Se sabía antes, que la elección de los espacios de aproximación de$p$y$\varphi$Es crucial. Pueden existir soluciones numéricas, pero pueden diferir enormemente de la solución real, también para simulaciones de alta resolución. (Falta de estabilidad.)

el uso de la (co)homología conduce a una comprensión unificada de esta área. Primero, debe encontrar un complejo de Hilbert tal que la ecuación asociada de Hodge Laplace sea la PDE de su interés. Encontrar el complejo correcto o combinar varios complejos para construir uno nuevo implica la aplicación de herramientas del álgebra homológica.

Si la aproximación numérica implica un morfismo acotado entre dos complejos que conserva los grupos de cohomología, ¡entonces los elementos finitos correspondientes son estables! (Por supuesto, hay algunos supuestos típicos para elementos finitos que también deben cumplirse).

Me encanta el hecho de que aquí las matemáticas numéricas se benefician de un enfoque más abstracto y, de hecho, ¡esta técnica también ayudó a resolver problemas no resueltos anteriormente!

Todo depende de lo que se entienda por sorprender. Esto quizás no sea tan sorprendente en retrospectiva, pero para mí, que las conjeturas de Weil se prueben mediante cohomología étale es una aplicación fantástica. La cohomología ha tenido un gran impacto en las cuestiones de la teoría de números y seguramente (¡diferentes formas de cohomologías!) seguirá desempeñando un papel importante.

Dan Isaksen formuló la aritmética básica en términos de cohomología:

(cf. https://pdfs.semanticscholar.org/b44b/eb7ff396be62e548e4a6dc39df0bdf65e593.pdf )

Ver "llevar" como un cociclo es algo en lo que la mayoría de la gente no piensa. Al menos, la mayoría de las personas con las que he hablado que conocen la cohomología no piensan en la aritmética de esta manera.

1. Este artículo es una maravillosa introducción a la cohomología. Cita varias aplicaciones (fuera de las matemáticas puras):

Las aplicaciones de la cohomología y la teoría de Hodge son abundantes, las encontramos en análisis numérico [3], peridinámica [30], análisis de datos topológicos [26], topología computacional [33], gráficos [66], procesamiento de imágenes [70], robótica [ 45], redes de sensores [65], neurociencia [53] y muchas otras áreas de la ciencia física y la ingeniería. Pero estas aplicaciones no son "sorprendentes" en el sentido de que todas se refieren a la física, la geometría o la topología, áreas que dieron origen a la cohomología y la teoría de Hodge en primer lugar. Lo que encontramos algo inesperado son las aplicaciones recientes de la cohomología y la teoría de Hodge a la teoría de juegos [15] y la clasificación [43].

2. También hay una publicación interesante de T.Tao sobre la aplicación de cohomología a sistemas dinámicos.