¿Por qué los universales δδ\delta-funtores aniquilan las inyectivas?

En los 10 años desde que hice esta pregunta, aprendí algunas otras teorías de los funtores derivados, y el hecho de que no ha habido respuesta me lleva a creer que la pregunta puede no tener respuesta porque la definición de ( universal )$\delta$-funtor es simplemente demasiado débil. Quizás el mismo Grothendieck se dio cuenta de esto cuando él y Verdier desarrollaron la teoría de (categorías trianguladas y) categorías derivadas. Así que déjame responder una pregunta modificada.

La fuente principal de secuencias exactas largas en categorías abelianas, hasta donde yo sé, son secuencias exactas cortas de cadenas complejas en categorías abelianas, o más generalmente triángulos en categorías trianguladas. Sin embargo, parece que no todas las sucesiones exactas largas surgen de esta manera: Neeman [ Secuencias exactas largas provenientes de triángulos ] mostró que existe una condición necesaria que involucra$\textrm{Ext}^3$y Šťovíček [ Una caracterización de secuencias exactas largas provenientes del lema de la serpiente ] mostró que la condición de Neeman no es suficiente. Entonces, si lo que realmente queremos es una secuencia exacta larga que provenga de un triángulo, deberíamos pedir un triángulo.

Otro problema con el$\delta$-formalismo functor es que es muy difícil expresar cómo el universal$\delta$-funtor de un funtor compuesto está relacionado con los compuestos del universal correspondiente$\delta$-funtores. ( tos de secuencia espectral de Grothendieck tos ) Es más fácil expresar en el formalismo de la categoría derivada: simplemente a partir de la definición, hay una transformación natural canónica del funtor derivado derecho de un compuesto al compuesto de los funtores derivados correctos, pero siento que el la definición original es deficiente: en la práctica, cuando los funtores derivados de la derecha se construyen mediante resoluciones inyectivas, la comparación es un isomorfismo, pero que yo sepa, esto no se puede demostrar solo con la definición.

Lo anterior ya lo entendí más o menos hace 6 o 7 años, pero recientemente leí algunos comentarios sobre MathOverflow y en el proyecto Stacks que me hicieron darme cuenta de que hay una forma de modificar la definición de funtor derivado para que:

• la existencia de un funtor derivado no tiene que ser todo o nada; se puede definir un objeto a la vez; y
• es un teorema que evaluando a una resolución inyectiva calcula el funtor derivado derecho.

Como tal, con esta definición, es un teorema que los objetos inyectivos son acíclicos para los funtores exactos a la izquierda, ¡ya sea que haya suficientes inyectivos o no!

(Creo que alguien, quizás tb, trató de explicarme estas ideas hace muchos años, pero en ese entonces no entendía las categorías derivadas en absoluto. Incluso ahora solo tengo una leve comprensión de las categorías derivadas, y todavía no entiendo las categorías trianguladas. categorías.)

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Ahora, con el prefacio fuera del camino, podemos discutir los detalles matemáticos.

Dada una categoría abeliana$\mathcal{A}$, dejar$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$sea ​​la categoría de cadenas complejas (ilimitadas), sea$\mathbf{K} (\mathcal{A})$ser$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$homotopía de la cadena módulo, y sea$\mathbf{D} (\mathcal{A})$ser$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$o$\mathbf{K} (\mathcal{A})$localizado con respecto a cuasi-isomorfismos. (Es un ejercicio simple demostrar que ambas definiciones son equivalentes).

Dado un funtor aditivo$F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$dónde$\mathcal{A}$y$\mathcal{B}$son categorías abelianas, obtenemos automáticamente funtores inducidos$\textbf{Ch} (F) : \textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \textbf{Ch} (\mathcal{B})$y$\mathbf{K} (F) : \mathbf{K} (\mathcal{A}) \to \mathbf{K} (\mathcal{B})$, y si$F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$es exacta (o, equivalentemente,$\textbf{Ch} (F) : \textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \textbf{Ch} (\mathcal{B})$conserva cuasi-isomorfismos), entonces obtenemos un funtor inducido$\mathbf{D} (F) : \mathbf{D} (\mathcal{A}) \to \mathbf{D} (\mathcal{B})$. Los funtores derivados de$F$, o mejor$\textbf{Ch} (F)$, son esencialmente las mejores aproximaciones de$\textbf{Ch} (F)$por funtores que conservan cuasi-isomorfismos. Sin embargo, la funcionalidad estricta es difícil de lograr, por lo que a menudo trabajamos al nivel de$\mathbf{K}$en lugar de$\textbf{Ch}$.

Definición. Dejar$F : \textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \mathcal{C}$ser un funtor y dejar$P$ser una cadena compleja en$\mathcal{A}$. El valor del funtor derivado derecho de$F$en$P$es un objeto$(\mathbf{R} F) P$en$\mathcal{C}$junto con un mapa asignando a cada objeto$P'$y morfismo$p : P' \to P$en$\mathbf{D} (\mathcal{A})$un morfismo$\eta (p) : F P' \to (\mathbf{R} F) P$en$\mathcal{C}$, tal que se cumplan las siguientes condiciones:

• Para cada morfismo$p' : P'' \to P'$en$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$: $$\eta (p \circ p') = \eta (p) \circ F p'$$ En otras palabras,$\eta$es mapa $$\textrm{Hom}_{\mathbf{D} (\mathcal{A})} (P', P) \to \textrm{Hom}_\mathcal{C} (F P', (\mathbf{R} F) P)$$ que es natural (¡en el sentido técnico!) como$P'$varía en$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$.
• Para cada objeto$C$en$\mathcal{C}$y cada mapa$\psi : \textrm{Hom}_{\mathbf{D} (\mathcal{A})} (P', P) \to \textrm{Hom}_\mathcal{C} (F P', C)$natural como$P'$varía en$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$, hay un único morfismo$c : (\mathbf{R} F) P \to D$tal que $$\psi (p) = c \circ \eta (p)$$ para todos los objetos$P'$en$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$y todos los morfismos$p : P' \to P$en$\mathbf{D} (\mathcal{A})$.

(Mutatis mutandis para$\mathbf{K} (\mathcal{A})$en lugar de$\textbf{Ch} (\mathcal{A})$. Es claro que si$F : \textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \mathcal{C}$factores a través del cociente$\textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \mathbf{K} (\mathcal{A})$entonces no importa lo consideramos como un funtor$\textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \mathcal{C}$o un funtor$\mathbf{K} (\mathcal{A}) \to \mathcal{C}$.)

Los expertos reconocerán esto como una instancia de una extensión Kan izquierda puntual. Si$\mathcal{C}$tiene colimits de diagramas de forma$\textbf{Ch} (\mathcal{A}) \times_{\mathbf{D} (\mathcal{A})} \mathbf{D} (\mathcal{A})_{/ P}$entonces el valor del funtor derivado derecho de$F$en$P$existe, por cada$F : \textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \mathcal{C}$. (Mutatis mutandis para$\mathbf{K} (\mathcal{A})$.) Esto sucede si, por ejemplo,$\mathcal{A}$es pequeño y$\mathcal{C}$es cocompleto, tal vez esto es a lo que Grothendieck aludía en su comentario después del teorema 2.2.2 en su artículo de Tôhoku. De todos modos, volvamos a las inyecciones.

Definición. Un complejo de cadena inyectable K en$\mathcal{A}$es un complejo de cadenas$Q$en$\mathcal{A}$tal que el funtor$\textrm{Hom}_\mathcal{A} (-, Q) : \textbf{Ch} (\mathcal{A})^\textrm{op} \to \textbf{Ch} (\textbf{Ab})$conserva cuasi-isomorfismos.

Ejemplo. Cualquier complejo de cadena acotado por encima (¡homológico!) de objetos inyectivos es K-inyectivo.

Proposición. Dejar$Q$ser una cadena compleja en$\mathcal{A}$. Los siguientes son equivalentes.

1. $Q$es un complejo de cadena inyectable K en$\mathcal{A}$.

2. el funtor$\textrm{Hom}_{\mathbf{K} (\mathcal{A})} (-, Q) : \mathbf{K} (\mathcal{A})^\textrm{op} \to \textbf{Ab}$envía cuasi-isomorfismos a isomorfismos.

3. Para cada complejo de cadena$P$, el mapa$\textrm{Hom}_{\mathbf{K} (\mathcal{A})} (P, Q) \to \textrm{Hom}_{\mathbf{D} (\mathcal{A})} (P, Q)$definido por el funtor de localización$\mathbf{K} (\mathcal{A}) \to \mathbf{D} (\mathcal{A})$es un isomorfismo.

Prueba. Que 1 implica 2 es claro, porque$\textrm{Hom}_{\mathbf{K} (\mathcal{A})} (P, Q) \cong \mathrm{H}_0 (\textrm{Hom}_\mathcal{A} (P, Q))$. Es sencillo demostrar que 2 implica$\textrm{Hom}_{\mathbf{K} (\mathcal{A})} (P, Q) \to \textrm{Hom}_{\mathbf{D} (\mathcal{A})} (P, Q)$es sobreyectiva, pero parece que verificar la inyectividad requiere el uso del cálculo de fracciones de Gabriel-Zisman. Que 3 implica 2 es obvio, y 2 implica 1 por un argumento de cambio de grado. ◼

Teorema. Dejar$Q$sea ​​un complejo de cadena inyectiva K en$\mathcal{A}$y deja$F : \textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \mathcal{C}$ser un funtor. Si$F$envía equivalencias de homotopía de cadena de complejos de cadena en$\mathcal{A}$a los isomorfismos en$\mathcal{C}$, entonces$F Q$, junto con el mapa que asigna a cada$P'$y$p : P' \to Q$en$\mathbf{D} (\mathcal{A})$el morfismo$F p : F P' \to F Q$en$\mathcal{C}$, es el valor del funtor derivado por la derecha de$F$en$Q$.

Prueba. La hipótesis implica$F : \textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \mathcal{C}$factores como el cociente$\textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \mathbf{K} (\mathcal{A})$seguido de un funtor (determinado de forma única)$\mathbf{K} (\mathcal{A}) \to \mathcal{C}$. Por otro lado, la proposición dice que todo morfismo$p : P' \to Q$en$\mathbf{D} (\mathcal{A})$eleva únicamente a$\mathbf{K} (\mathcal{A})$, entonces (abusando un poco de la notación) tenemos un morfismo bien definido$F p : F P' \to Q$en$\mathcal{C}$. El resto de la verificación es esencialmente el lema de Yoneda. ◼

Corolario. Si$B$es un objeto en$\mathcal{A}$y tenemos una secuencia exacta en$\mathcal{A}$del siguiente formulario,

$$0 \longrightarrow B \overset{j}{\longrightarrow} Q_0 \longrightarrow Q_{-1} \longrightarrow Q_{-2} \longrightarrow \cdots$$ donde cada uno$Q_n$es un objeto inyectivo en$\mathcal{A}$, entonces (con$F$como en el teorema, y ​​suponiendo$Q_n = 0$para$n > 0$)$F Q$, junto con el mapa que asigna a cada$P'$y$p : P' \to B [0]$el morfismo$F (j \circ p) : F P' \to F Q$, es el valor del funtor derivado por la derecha de$F$en$B [0]$. ◼

Ejemplo. Dejar$\mathcal{B}$sea ​​una categoría abeliana y sea$F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$Sea un funtor aditivo. Entonces el funtor inducido (¡abusando de la notación!)$F : \textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \textbf{Ch} (\mathcal{B})$conserva las equivalencias de homotopía de la cadena, por lo tanto, el compuesto$\textbf{Ch} (\mathcal{A}) \to \mathbf{D} (\mathcal{B})$Envía equivalencias de homotopía en cadena a isomorfismos. Así, poniendo$\mathcal{C} = \mathbf{D} (\mathcal{B})$, podemos aplicar el teorema y su corolario. Los funtores derivados clásicos se recuperan tomando la homología de los funtores derivados modernos (cuando hay suficientes inyectivas), por lo que hemos probado (para nuestra definición de funtores derivados, sin asumir que hay suficientes inyectivas) que

$$(\mathrm{R}^n F) I \overset{\textrm{def}}{=} \mathrm{H}_{-n} ((\mathbf{R} F) I) \cong \begin{cases} I & \textrm{if } n = 0 \\ 0 & \textrm{if } n \ne 0 \end{cases}$$ para cualquier objeto inyectivo$I$en$\mathcal{A}$, como se desee.

He aquí una prueba de que las inyectivas son acíclicas en el caso de que$T^\bullet$es borrable$\delta$-funtor. Es decir, para cada objeto$A\in\mathcal{A}$y cada$n\ge 1$hay un mono$f:A \hookrightarrow B$tal que$T^n(f)=0$. Borrable$\delta$-funtores son universales , ya sea$\mathcal{A}$tiene suficientes inyectivas o no.

Asumiendo$T^\bullet$es borrable, vamos$I$ser un objeto inyectivo y$n\ge 1$. Elige un mono$f:I\hookrightarrow B$con$T^n(f)=0$. Porque$I$es inyectiva, la secuencia$0\to I\to B\to \text{ker}(f) \to 0$se divide exactamente. Aditividad de$T^n$implica$0\to T^n I \to T^n B \to T^n\text{ker}(f)\to 0$para ser dividido exactamente, entonces$T^nI\hookrightarrow T^nB$sigue siendo mono. Pero$T^n(f)=0$, por lo tanto$T^nI=0$.

Esta prueba no requiere$\mathcal{A}$tener suficientes inyecciones. Sin embargo, la borrabilidad me parece una condición más fuerte que la mera universalidad. ¿Conoces un buen contraejemplo para un universal?$\delta$-funtor, que no es borrable?