de wikipedia,
https://en.wikipedia.org/wiki/Hiperhomología
La definición de hipercohomología es:
Suponer es una categoría abeliana con bastantes inyectivas, y es un funtor exacto izquierdo de a otra categoría abeliana . por un complejo de objetos de que está acotado por la izquierda, su hipercohomología se construye como:
Tome un cuasi-isomorfismo , dónde es un complejo de objetos inyectivos de .
La hipercohomología Se define como .
No pude encontrar una buena referencia sobre hipercohomología, tal vez porque ha sido reemplazado por el concepto de funtores derivados, como se dice en la página de Wikipedia. Sé muy poco sobre temas relacionados, por lo que me gustaría molestar a la comunidad con mis preguntas ingenuas.
Pregunta 1 : De wikipedia, esta definición es independiente de la elección de , es decir, hasta un único isomorfismo, ¿alguien podría explicar por qué?
Pregunta 2 : Supongamos que tenemos un mapa entre complejos de , cómo definir un mapa sobre las hipercohomologías ?
Pregunta 3 : Supongamos que tenemos una secuencia exacta de complejos de
¿Cómo construir la secuencia exacta larga de hipercohomologías?
Pregunta 4 : De wikipedia, la hipercohomología también se puede definir usando categorías derivadas: la hipercohomología de es solo la cohomología de considerado como un elemento de la categoría derivada de , pero esto me confundió un poco. En la categoría derivada de , no es la cohomología del complejo sigue siendo la cohomología obtenida tomando la cohomología de este complejo?
1) Cualesquiera dos resoluciones inyectivas son homotópicamente equivalentes, como en el caso de una resolución de un solo objeto. Así que sus imágenes bajo son equivalentes en homotopía y tienen la misma cohomología.
2) Una buena manera es construir una resolución inyectiva funcional, que se puede hacer al menos en complejos sobre una categoría abeliana de Grothendieck. Esto generaliza la construcción clásica del casco inyectivo de un módulo.
3) Esto se hace, nuevamente, de la misma manera que para los funtores derivados ordinarios. Construir resoluciones con suficiente cuidado para obtener una secuencia exacta de resoluciones; esto se divide por niveles, por lo que la exactitud se conserva mediante , y aplicamos el lema de la serpiente.
4) Wikipedia tiene un error, aquí. en sí mismo no está definido en la categoría derivada; más bien el funtor derivado total es; se define por , dónde es cualquier resolución inyectiva. Es entonces inmediato que los funtores de hipercohomología se dan componiendo funtores de cohomología con .
Por cierto, la terminología de Wiki aquí es cuestionable y confusa. Lo que llaman hipercohomología debería, en mi opinión, llamarse los funtores hiperderivados correctos de . Sólo es apropiado llamarlos hipercohomología cuando es un funtor de secciones global, por lo que sus funtores derivados ordinarios son funtores de cohomología. Menciono esto para aclarar los dos tipos de cohomología que surgen aquí: este -hipercohomología de un complejo no tiene virtualmente nada que ver con la cohomología de como un complejo.
Nicolás Hemelsoet
Wenzhe