¿Es una cosa la homología/cohomología singular "generalizada"? ¿Si no, porque no?

Por lo que entiendo, los grupos de homología singulares de un espacio topológico se definen así:

Particularidades topológicas. Hay un funtor covariante F : Δ → T o pag que asigna a cada número natural norte el correspondiente norte -símplex. Esto produce un funtor

T o pag ( F − , − ) : Δ o pag × T o pag → S mi t .
Por lo tanto, a cada espacio topológico X , podemos asignar un conjunto simplicial T o pag ( F − , X ) : Δ o pag → S mi t .

Tonterías generales. Observamos que todo conjunto simplicial induce un grupo abeliano simplicial; que todo grupo abeliano simplicial induce un complejo en cadena; y que los complejos de cadena tienen grupos de homología y cohomología. Ergo, los conjuntos simpliciales tienen grupos de homología/cohomología.

Poniendo estos juntos, podemos hablar de los grupos de homología y cohomología de un espacio topológico X . Sin embargo, los detalles topológicos no parecen demasiado importantes. De hecho, para cualquier categoría C y cualquier funtor F : Δ → C , hay un conjunto simplicial C ( F − , X ) adjunto a cada X ∈ C , y por lo tanto X tiene homología y cohomología.

Por ejemplo, el funtor de conjunto subyacente tu : C METRO o norte → S mi t tiene un adjunto izquierdo F : S mi t → C METRO o norte . Pero desde Δ ⊆ S mi t y C METRO o norte ⊆ METRO o norte , esto produce un funtor F : Δ → METRO o norte . Esto a su vez debería permitirnos adjuntar grupos de homología y cohomología a cada monoide. METRO , estudiando el conjunto simplicial METRO o norte ( F − , METRO ) .

Pregunta. ¿Es esto una cosa? ¿Si no, porque no?

No todas esas cosas satisfarán los axiomas de Eilenberg-Steenrod.
@IttayWeiss, sí, seguro; y el axioma de homotopía ni siquiera tiene sentido en este nivel de generalidad. Pero, aún así, podemos estudiar estos grupos. ¿Hay alguna razón para no hacerlo?
Tiene más sentido para las categorías de modelos.
No estoy seguro de qué '¿Es esto una cosa?' realmente está preguntando. Supongo que uno de: ¿Es posible ? ¿Es interesante ? ¿Está estudiado ? El primero tiene una respuesta, al igual que el último, pero probablemente sea más difícil. La segunda, por razones en sí mismas poco interesantes, es más o menos incontestable.
@ usuario259242, ambos, supongo.
No estoy seguro de poder responder a esto. Voy a votarlo, solo porque es más avanzado (y, por lo tanto, probablemente interesante) que muchas otras cosas en la página principal.
@ user259242 Y ahí radica tu error.
@AlexYoucis Ese es un comentario tremendamente opaco para hacer. Usa mejor tus palabras o deja de ser críptico.
@ usuario259242 Bien. Simplemente estaba comentando el hecho de que '... solo porque es más avanzado (y, por lo tanto, probablemente interesante)...' puede ser una mala perspectiva. Fue solo un golpe inofensivo, con suerte tomado de buen humor :)
@AlexYoucis caras sonrientes desactiva todo (:
@ user259242 De hecho, lo hacen. Saludos :) Esperemos que esta pregunta sea respondida.
Hace Δ ¿Se refiere aquí a un simplex o al conjunto de todos los simples? ¿Es la pregunta similar a "¿por qué considerar solo mapas continuos de n-simples, y no también mapas continuos de espacios topológicos más generales"? Para que conste, no sé la respuesta, esa es solo una pregunta que me di cuenta de que tengo sobre la homología singular, y no estoy seguro de si su pregunta es la misma.
@Guillermo el Δ se refiere a la categoría simplicial , típicamente. Un conjunto simplicial es lo mismo que un funtor Δ o pag → S mi t . Para su segunda pregunta, quizás le interese esto .

Respuestas (1)

Si entendí bien, tienes un objeto cosimplicial F ∙ ∈ C C (también conocido como un funtor F : Δ → C ), y un objeto X ∈ C ; y estás considerando el conjunto simplicial hombre C ⁡ ( F ∙ , X ) ∈ s S mi t . Claro, la gente usa construcciones como esta de vez en cuando, es una construcción muy general... Pero como es tan general, es difícil ser más específico que eso. Ocurre en toneladas de entornos diferentes.

No creo que sea justo llamar a eso "la homología de X ", tampoco; depende en gran medida de lo que F ∙ es. Por ejemplo, cuando tiene una categoría tenso sobre s S mi t , dados dos objetos X y Y , puede construir el espacio de mapeo

Mapa C ⁡ ( X , Y ) = hombre C ⁡ ( X ⊗ Δ ∙ , Y ) ∈ s S mi t
que se usa muy, muy a menudo, satisfaciendo entre otras cosas π 0 Mapa C ⁡ ( X , Y ) = [ X , Y ] es el conjunto de clases de homotopía de mapa X → Y .

Aún más específicamente el conjunto simplicial singular S ∙ ( X ) es dado por Mapa T o pag ⁡ ( ∗ , X ) (dónde T o pag se tensa sobre conjuntos simpliciales de la manera estándar). Entonces, la homología es realmente un caso especial de un caso especial.

Lo que estás considerando es muy general. La homología es interesante porque satisface cosas como los axiomas de Eilenberg-Steenrod, tenemos teoremas como la UCT, el teorema de Künneth... Puede probar mucho sobre la homología usando la configuración que está considerando (por ejemplo hombre C ⁡ ( F ∙ , X × Y ) = hombre C ⁡ ( F ∙ , X ) × hombre C ⁡ ( F ∙ , Y ) es obvio, y luego tienes el teorema de Eilenberg-Zilber y finalmente la fórmula de Künneth), pero muchas otras propiedades dependen en gran medida del F ∙ = | Δ ∙ | usado.

¿Es una cosa la homología/cohomología singular "generalizada"? ¿Si no, porque no?
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