¿Motivación y uso de la teoría de categorías?

Yo personalmente encuentro la teoría de categorías pura por sí misma bastante difícil de tragar, y prefiero pensar en ella con ejemplos reales de su uso. Entonces, permítanme dar algunos ejemplos (históricos) de cómo la abstracción de la teoría de categorías condujo a avances matemáticos significativos.

1. Existe la teoría de la cohomología etale. La cohomología etale es una variante de la cohomología estándar de haces que se encuentra en los cursos de geometría algebraica.* El punto de partida es una observación categórica: los axiomas de haces son, fundamentalmente, funcionales; una gavilla en un espacio topológico$X$es un funtor contravariante de la categoría de conjuntos abiertos de$X$(con los morfismos las inclusiones) que satisface una cierta propiedad de exactitud. Cuando se interpreta de esta manera, es posible hablar de poleas en una categoría general con una noción adecuada de cobertura (es decir, una topología de Grothendieck). Si uno usa diferentes categorías (por ejemplo, el sitio de Zariski da una cohomología de gavilla regular, pero el sitio de etale da una cohomología de etale) uno puede obtener diferentes teorías de cohomología. (Dicho sea de paso, como otro ejemplo, en la teoría del grupo fundamental etale, Grothendieck desarrolló un enfoque abstracto de la teoría de Galois que no solo aclara la analogía entre la teoría de Galois y la clasificación de los espacios que cubren, sino que permite construir puramente categóricamente un modelo algebraico).$\pi_1$.)

2. En la teoría de la homotopía, el lenguaje de categorías modelo de Quillen unificó las ideas detrás de la teoría de la homotopía de los conjuntos simpliciales y la teoría de la homotopía de los espacios topológicos. En otras palabras, para hacer teoría de la homotopía en este lenguaje, simplemente se necesita una categoría con una estructura adecuada (mapas designados como cofibraciones, fibraciones y equivalencias débiles; se supone que estos abstraen las nociones de cofibración de Serre, fibración y homotopía débil). equivalencia y satisfacer las propiedades de elevación), y solo a partir de esto se puede construir la homotopíacategoría. Al hacerlo, Quillen pudo encontrar de manera eficiente nuevos ejemplos de categorías de modelos, que uno podría no asociar de inmediato con la "teoría de la homotopía", como la categoría de modelos de anillos conmutativos simpliciales; con esto, y una definición abstracta de homología, pudo construir el llamado complejo cotangente y, por lo tanto, la cohomología de Andre-Quillen de un anillo (que había sido conjeturada por Grothendieck).

3. Los conjuntos simples en sí mismos se pueden ver de forma puramente combinatoria: son una secuencia de conjuntos$X_n$con mapas de límite y degeneración adecuados, y esto es todo lo que uno necesita. Pero para un ser humano, esta secuencia de notación es algo formidable y poco intuitiva; es mucho más limpio usar el lenguaje de las categorías y decir que son funtores (contravariantes) de la categoría de conjuntos ordenados finitos a la categoría de conjuntos. Esto permite construir fácilmente cosas como el estándar$n$-símplex$\Delta[n]$y ver su propiedad universal (porque es solo una consecuencia de la tontería categórica general, el lema de Yoneda). Un beneficio de pensar de manera categórica es que, aunque sé muy poco sobre esto, en realidad existe una teoría general (aparentemente desarrollada por Cisinski ) de construir estructuras modelo en categorías de pregavilla.

4. En matemáticas, sucede con frecuencia que un objeto parametriza a una familia de cosas de alguna manera. Por ejemplo, el esquema de Hilbert parametriza subesquemas cerrados de un esquema proyectivo, mientras que el propio espacio proyectivo parametriza haces de líneas junto con un conjunto de generadores; hay numerosos ejemplos más. En cada uno, es un estado un poco complicado exactamente lo que significa realmente "parametrizar": el enfoque elegante es decir que algún funtor dado es representable. En otras palabras, es decir que algún funtor$F$se puede realizar como mapas en algún objeto$X$, que es el objeto de parametrización "universal". A menudo es interesante dar algunos criterios específicos para que un funtor general sea representable (y aquí está la esencia del enfoque categórico; probar la representabilidad individualmente para un funtor concreto es una tarea que podría, a priori, formularse sin apelar a la categoría). teoría). En topología algebraica, un resultado bastante espectacular (el teorema de representabilidad de Brown ) establece que cualquier cosa que se parezca a la cohomología (en particular, cualquier teoría de cohomología extraordinaria) es representable en la categoría de homotopía, al menos si te apegas a los complejos CW. Este es realmente un resultado arrollador porque se aplica a una clase muy grande de funtores.**

(En geometría algebraica, no conozco ninguna condición de suficiencia tan fuerte . Por otro lado, existen condiciones necesarias bastante estrictas que cualquier funtor representable en la categoría de esquemas debe satisfacer; tales funtores deben ser poleas en topologías de Grothendieck adecuadas. (cf. 1 arriba). Esto en la práctica es un tipo de condición de descenso.)

*Creo que uno argumenta razonablemente que incluso la introducción de la cohomología de gavillas fue una revolución del enfoque categórico: la cohomología de gavillas se define (generalmente) como un funtor derivado en la categoría de gavillas, pero un funtor derivado en una categoría abeliana, no algo que es obviamente una categoría de módulos. (La noción de derivar funtores en una categoría abeliana fue, si no me equivoco, introducida en el artículo de Tohoku de Grothendieck).

**Una aplicación interesante de esto es al caso de la propia cohomología singular. La implicación es que si$X$es un complejo CW, entonces hay un espacio fijo$K(G, n)$(para cada grupo abeliano$G$y$n \in \mathbb{Z}$) tales que homotopía clases de mapas$X \to K(G, n)$están naturalmente en biyección con clases de cohomología en$H^n(X, G)$. De esto se sigue que$K(G, n)$puede tener solo un grupo de homotopía que no se desvanece, y uno obtiene como consecuencia de este disparate categórico los espacios de Eilenberg-Maclane . (Para ser justos, probablemente debería señalar que, por ejemplo, la construcción de Hatcher de los espacios de Eilenberg-Maclane es básicamente un juguete análogo a la prueba de la representabilidad de Brown).

Finalmente, una de las principales ventajas de la filosofía categórica (que ya he mencionado) es que permite reutilizar ideas. Algunas ideas, como el lema de Yoneda o la idea de una propiedad universal, tardan un poco en digerirse, pero aparecen con tanta frecuencia, en diversas disciplinas matemáticas, que es más eficiente probarlas una vez con la máxima generalidad que volver a hacerlas. un caso especial de ello una y otra vez. Quizás una de las razones de esto es que muchas de las construcciones que uno encuentra en las matemáticas (la fibra tangente a una variedad uniforme, la (co)homología singular o los grupos de homotopía de un espacio topológico, el producto tensorial de módulos (o anillos), el operación de cambio de base en geometría algebraica) son en última instancia funtores.

Cuando estaba en la escuela de posgrado, tuve la idea de que la teoría de categorías era un lenguaje conveniente para enunciar cosas, pero no tuvo ningún resultado profundo. Sin embargo, ahora creo que nada podría estar más lejos de la verdad. La teoría de categorías ahora ha demostrado ser increíblemente útil en topología para problemas muy concretos, como encontrar invariantes de nudos e incluso invariantes de 3 y 4 variedades. Las invariantes de Reshetikhin-Turaev, la integral de Kontsevich y la homología de Khovanov son poderosas invariantes de enlace que surgen a través de un enfoque categórico.