¿Cuáles son los mejores temas para aprender en un primer (y segundo) curso de teoría de categorías?

Soy estudiante de matemáticas en mi último año de estudios de licenciatura y estoy tomando un primer curso en teoría de categorías. El profesor que está dando el curso no es teórico de categorías y por la diferente procedencia de mis compañeros vamos avanzando lento (casi hemos terminado el semestre). Me temo que no cubriremos los mismos temas que se estudian en otros cursos de Teoría de categorías. Hasta ahora hemos visto las definiciones de

  • categoría,
  • categoría concreta,
  • subcategoría,
  • retracción,
  • monomorfismo,
  • epimorfismo,
  • bimorfismo,
  • isomorfismo,
  • funtor,
  • transformación natural,
  • producto,
  • coproducto,
  • pequeña categoría y
  • cuasi-categoría.

Sé que eventualmente llegaremos al Lema de Yoneda, así que mis preguntas son:

  1. ¿Son estos temas suficientes para un primer curso de Teoría de Categorías para estudiantes de pregrado?
  2. Si no, ¿cuáles son los mejores temas para aprender en un primer curso de Teoría de categorías para estudiantes de pregrado?
  3. Estoy planeando tomar el siguiente curso, así que mejor debería estudiar con anticipación: ¿Qué son? ¿Los mejores temas para aprender en un segundo curso de Teoría de Categorías?

Respuestas (1)

Puedo ver algunas lagunas enormes en esa lista (también se deben eliminar las cuasicategorías), a saber

Debería saber absolutamente cuáles son después de pasar un semestre aprendiendo teoría de categorías porque las personas (no solo los teóricos de categorías) los usan todo el tiempo. Más allá de eso (por ejemplo, para un segundo curso), depende mucho de tus intereses. Algunas posibilidades aleatorias:

Las cuasicategorías bien podrían referirse a algo así como categorías no localmente pequeñas (cf Joy of Cats) en lugar de conjuntos simples con rellenos de cuerno interno.
¡Gracias! Pequeña pregunta: si mis intereses se encuentran en los fundamentos de las matemáticas, ¿cuáles son algunos temas que podría estudiar? He leído sobre grupoides, universos de Grothendieck y también sobre el sistema axiomático de Lawvere (ETCS). ¿Conoces otros temas y el orden en que podría estudiarlos? Por cierto: definimos una cuasi-categoría exactamente como una categoría, pero sus objetos son colecciones de clases.
@Jonathan: para mí, el término para eso es "categoría grande" y "cuasicategoría" significa un modelo particular de ∞ -categorías ( ncatlab.org/nlab/show/quasi-category ). Si está interesado en los fundamentos, es posible que desee aprender algo de teoría de topos.
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