¿Se puede escribir siempre la función de onda de una partícula libre como una combinación lineal de funciones de onda más básicas?

En varias explicaciones que he leído, por lo que he reunido, todas las partículas tienen una función de onda. Ψ ( r , t ) dónde r son las coordenadas cartesianas en la cantidad de dimensiones en las que esté trabajando. Entonces, en el espacio 3D normal, la función de onda es Ψ ( X , y , z , t ) .

Mi primera pregunta es ¿bajo qué condiciones la función de onda de una partícula es un estado cuántico puro? Si tomo un electrón y lo aíslo por completo del resto del universo, ¿estará en un estado cuántico puro? ¿Es esto posible y cómo se relaciona con las funciones propias que aparecen cuando actúas con algún operador en la función de onda? Por ejemplo, cuando el operador de momento o el operador de posición actúan sobre una función de onda, obtenemos:

pag ^ 𝛹 = pag 1 𝜓 1 + pag 2 𝜓 2 . . . + pag norte 𝜓 norte

y

X ^ 𝛹 = X 1 𝜓 1 + X 2 𝜓 2 . . . + X norte 𝜓 norte

¿Son estas funciones 𝜓 norte lo mismo para el impulso y la posición? Hace 𝜓 1 en la ecuación del momento = 𝜓 1 en la ecuación de posición? y que forma tienen estas funciones, entiendo que una onda plana se puede escribir en la forma mi i ( k X − ω t ) , pero ¿cuáles de estas funciones tienen esta forma? ¿Están las funciones propias en esta forma o es la función de onda total? Ψ en esta forma o no son ninguno de ellos?

Lo siento si esta es una pregunta muy complicada o mal redactada, con gusto aclararé cualquier cosa que no tenga sentido. Simplemente me cuesta mucho conectar las cosas en mi cabeza y, a menos que pueda entender esto, no creo que alguna vez tenga una comprensión satisfactoria de este tema.

Como referencia, soy un estudiante de química de tercer año, por lo que mi comprensión de matemáticas / física no es nada impresionante, pero no es totalmente inexistente.

Gracias por cualquier respuesta de antemano, realmente lo aprecio.

Respuestas (3)

Intentaré responder a sus preguntas en el mismo orden en que fueron formuladas.

La pureza absoluta es imposible en el mundo real. Sin embargo, si limita el dominio de su experimento y busca las propiedades de las partículas en una escala específica de tiempo y distancia, es posible crear un estado que se comporte de manera similar al estado puro. (En otras palabras, si su experimento dura muy poco tiempo y ocurre en una cantidad limitada de espacio, puede minimizar los efectos del mundo externo en su partícula).

Funciones ψ i son diferentes para X ^ y pag ^ por el principio de incertidumbre. Estas funciones de onda son estados propios de estos operadores y, dado que no conmutan, no pueden ser lo mismo.

Los estados propios de momento tienen una forma de onda plana, mientras que los estados propios de posición tienen una forma de función delta . Esto es muy natural cuando la función de onda se ve como una distribución de probabilidad. El estado propio de X ^ es una partícula que se encuentra en una posición fija. Por lo tanto, hay un pico pronunciado en esa posición específica en la función de onda y ceros en todas partes.

En cuanto al resto, lo que estás buscando se llama Relación de Completitud . Se puede descomponer una función de onda en una suma de un número finito (o infinito) de estados propios de un operador particular. El operador podría ser X ^ , pag ^ , o incluso el hamiltoniano H ^ sí mismo.

1/2 Muchas gracias por tomarte el tiempo de contestar. Si no le importa, tengo algunas preguntas de seguimiento, las enumeraré a medida que separó sus respuestas. 1. Entonces, es imposible aislar al 100% una partícula en el espacio porque su función de onda siempre se superpone con la función de onda de cualquier otra partícula en el universo, ya que las funciones de onda (al menos en principio) se extienden infinitamente. 2. Creo que entiendo, entonces, ¿los operadores de conmutación tienen funciones propias y valores propios idénticos? ¿Será por eso que una medida de uno no afecta al otro porque son iguales? (alucinante si es cierto).
2/2 - 3. Esto en realidad racionaliza algo que me ha confundido durante mucho tiempo, la forma que toman las funciones propias de momento y posición. unos a otros, gracias. En este caso, ¿qué forma tiene la función de onda total 𝛹(r,t)? ¿Es la función de onda solo la función que obtienes cuando tomas todas las funciones propias para todos los operadores y las sumas todas junto con sus valores propios? ¿Es por eso que resolver exactamente la ecuación de Schrödinger es tan monstruosamente complicado para cualquier cosa que no sea los sistemas más básicos de partículas individuales? 4. Leeré sobre la integridad, gracias por el enlace.
Los operadores/observables que viajan al trabajo se pueden medir sin afectarse entre sí. / La función de onda es una distribución de probabilidad normalizada que también es una solución a la ecuación de Schrödinger, se puede descomponer en una suma de estados propios y puede tener cualquier forma que satisfaga S.eq. Es difícil resolverlo exactamente, excepto en algunos casos.
¡¿Esperar lo?! ¿Por qué afirma que los estados propios de cantidad de movimiento tienen una forma de onda plana y los estados propios de posición tienen una forma de función delta? Estamos tratando con una partícula libre. ¿Por qué supone que sabemos exactamente su posición? Esto es completamente extraño. Tiendo a afirmar que tanto el estado propio de impulso como el de posición son una suma de ondas planas, para mantener el problema en el caso más general posible.
@no_choice99 ese es el objetivo de QM; la función de onda representa inicialmente una superposición probabilística de estados posibles. Si tuviéramos que medir la posición o el momento de la partícula, la función de onda colapsaría en un estado propio de ese operador. Los estados propios del operador de posición son funciones delta. La Relación de Completitud nos dice entonces que estos forman una base para nuestro espacio de Hilbert relevante, partícula libre o no.
Lo sé, pero esto no es lo que decía la publicación. Estoy de acuerdo con la publicación editada ahora. Se señaló que la función de onda de la partícula libre era una onda plana en la base del momento y una función delta en la base de la posición. Esto estuvo mal. Podría ser cierto, por ejemplo, si uno acaba de colapsar la función de onda de la partícula, pero no es un requisito en absoluto.

Una base es una base, por lo que si tiene un conjunto completo de funciones, puede usarlo para expandir cualquier cosa que desee, incluidas las funciones de onda de partículas libres.

Por qué querrías hacer esto es otro asunto: presumiblemente esto dependería de la física de tu problema. Después de todo, la elección de un conjunto base en lugar de otro (por ejemplo, esférico en lugar de cartesiano) generalmente se hace porque algunas características son más evidentes de forma natural en un conjunto base que en otro.

En realidad, eso plantea otro problema que he tenido al intentar aprender, la forma en que abordamos los "conjuntos básicos" en química está muy alejada del significado matemático real de un conjunto básico. Mi mayor problema que tengo con el aprendizaje de QM es que si no puedo unir y conectar por completo todo lo que he tratado de aprender en mi cabeza y entender cómo se relacionan todos, la imagen completa simplemente se desmorona para mí y siento que he no aprendí nada Mi objetivo real es comprender cómo se puede derivar matemáticamente QM básico (y eventualmente más avanzado), creo que es la única forma en que realmente sentiré que lo entiendo.
He buscado en línea una explicación, pero muchas de ellas se sumergen o usan notaciones o ideas de áreas de las matemáticas que nunca he tocado en mi vida, lo que dificulta la comprensión. Por ejemplo, según tengo entendido, los vectores base i y j se pueden usar para representar cualquier vector en R ^ 3 como una combinación lineal de ellos mismos. Pero, ¿qué significa "cambiar conjuntos de bases", implica esto exclusivamente cambiar coordenadas, por ejemplo, a coordenadas polares esféricas? ¿Cada sistema de coordenadas tiene solo un "conjunto base"? Si no, ¿cuál sería otro ejemplo de una base establecida en R ^ 3? ¿Hay infinitos?
@Terry sí, hay infinitamente muchos. Piense, por ejemplo, en simplemente dos conjuntos cartesianos con el segundo rotado w/r al primero. El elemento matemático clave es la conexión con los sistemas de Sturm-Liouville: las soluciones a algunos tipos de ecuaciones diferenciales admiten "naturalmente" un conjunto completo de funciones. Resulta que la ecuación de Schrödinger es un problema de Sturm-Liouville en la mayoría de las circunstancias (siempre hay advertencias matemáticas).

En primer lugar, las funciones de onda no describen partículas, describen sistemas . Por ejemplo, si tiene un sistema de 2 partículas (digamos dos electrones en helio), la función de onda describe el sistema.

Ahora, si su sistema consta de una sola partícula y un hamiltoniano H ^ , entonces Ψ norte es un estado puro si:

H ^ Ψ norte = mi Ψ norte
y Ψ no se puede expresar como una combinación lineal de otros estados puros Ψ yo ; en otras palabras Ψ es un estado de energía definida.

Para la segunda parte de su pregunta, consideremos un operador general A ^ :

Si A ^ es el operador asociado con el observable A , entonces:

A ^ ψ norte = A norte ψ norte
significa que A norte (los valores propios de A ^ ) son los únicos resultados posibles de una medición de A . ψ (las funciones propias de A ^ ) son los estados de A (en tus ejemplos A es posición y cantidad de movimiento).

El conjunto de funciones propias ψ norte tener la propiedad de que Ψ puede expresarse como una combinación lineal de los estados de A .

Ψ = ∑ norte a norte ψ norte

A ^ Ψ = ∑ norte a norte A norte ψ norte

Si tiene diferentes operadores, tendría diferentes funciones propias, pero aún puede expresar Ψ como una combinación lineal de estas otras funciones propias.

Gracias por su respuesta. Espero que no le moleste que le haga algunas preguntas de seguimiento. Donde ha dicho que una función de onda Ψ(r,t) describe el sistema como un todo, ¿es posible representar este sistema total WF como una suma de los WF individuales que describirían las partículas dentro de él? Si es así, ¿qué forma toma la WF de un sistema de una sola partícula si tuviera que escribirla matemáticamente? (Si es demasiado complejo para escribirlo de forma genérica, ¿sería la suma de una carga de funciones exponenciales imaginarias e^i(kx-wt) por ejemplo?
Una función de onda de múltiples partículas no se puede descomponer genéricamente en funciones de onda de una sola partícula. Por ejemplo, el estado de Bell no se puede expresar como un producto de estados de una sola partícula. Cuando es posible, estos se denominan estados de producto y son realmente útiles, ya que significa que los números cuánticos que caracterizan cada estado se pueden estudiar por separado (por ejemplo, al resolver los componentes radial y angular del TISE para el átomo de hidrógeno).
¿Se puede escribir siempre la función de onda de una partícula libre como una combinación lineal de funciones de onda más básicas?
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