¿Alguien puede aclarar qué debe y no debe ser un operador en mi verificación de la solución 1D al SE para una partícula libre?

Acabo de calcular la solución de partículas libres 1D para la ecuación de Schrödinger.

Mi función de onda era

ψ ( X , t ) = A mi i ( pag X − mi t ) / ℏ
Así que conecté esto a ambos lados de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo y comencé a verificar. Hice LHS y RHS por separado.
luego terminé con
i ℏ ∂ ∂ t ψ = 1 2 pag 2 metro ψ

que parece la forma correcta de la solución de partículas libres.

mi confusión

No entiendo a dónde fueron los operadores. Por lo general, cuando veo el hamiltoniano definido en el SE dependiente del tiempo, se lee

i ℏ ∂ ∂ t ψ = H ^ ψ = 1 2 pag ^ 2 metro ψ

Pero mi respuesta aparentemente es sin sombrero. Arriba definí pag = ℏ k que es la relación de de Broglie. Pero el artículo del que obtuve la función de onda original no decía que necesitaba hacer la pag en ψ ( X , t ) = A mi i ( pag X − mi t ) / ℏ un operador. Así que estoy confundido sobre lo que debería y no debería ser un operador.

Mi pregunta:

¿Alguien puede aclarar qué debe y no debe ser un operador en mi verificación de la solución 1D al SE para una partícula libre?

Respuestas (1)

Tu solución es correcta. Lo que obtienes al verificarlo es que ψ es también una función propia del operador de cantidad de movimiento, lo que significa

pag ^ ψ = pag ψ ,

dónde pag ^ = − i ℏ ∇ es el operador de cantidad de movimiento, y pag es su valor propio.

Ahora, aplicando pag ^ dos veces y dividiendo por 2 metro , puedes obtener

1 2 metro pag ^ 2 ψ = 1 2 metro pag 2 ψ ,

que es solo otra forma de ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para partículas libres:

1 2 metro pag ^ 2 ψ = mi ψ .

Aquí T ^ = 1 2 metro pag ^ 2 es el operador de energía cinética, y mi es su valor propio, es decir, la energía de la partícula en este estado propio ψ .

¿Todas las soluciones de la ecuación de Schrödinger son funciones propias? Supongo que no. ¿Cómo puedo saber si una solución dada al SE es una función propia?
Todas las soluciones de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo con las condiciones de contorno apropiadas son funciones propias del hamiltoniano, eso es por construcción. En cuanto a SE dependiente del tiempo, la solución se puede elegir para que sea una función propia de un operador de una cantidad conservada en un problema dado. En tu caso, esta cantidad conservada es el impulso. Si por casualidad eliges la solución como pecado en lugar de Exp , esta elección correspondería a la conservación de la paridad (es decir, tal función tiene una paridad definida), mientras que su elección original tiene un impulso definido pag .
¿Alguien puede aclarar qué debe y no debe ser un operador en mi verificación de la solución 1D al SE para una partícula libre?
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