Colapso de la función de onda a su función propia tras la medición

Representamos el colapso de una función de onda por esta ecuación,$\hat{A} \phi = a \phi$.

Esto no es verdad.$\hat{A}\phi=a\phi$es la ecuación de valores propios del operador$A$. Simplemente dice que la acción del operador$\hat{A}$en su vector propio$\phi$da$a\phi$dónde$a$es el valor propio asociado.

La frase "acción del operador$\hat{A}$en un estado$|\psi\rangle$" puede ser confuso. No significa el acto físico de medir el observable asociado con el operador$\hat{A}$. Simplemente significa la operación matemática de multiplicar el vector de estado dado con dicho operador.

Sin embargo, tiene razón al esperar que una medida de un observable asociado con el operador$\hat{A}$sobre el estado$|\psi\rangle$debe ser representado de alguna manera! Entonces, ¿cómo lo representamos? Bueno, no podemos escribir una ecuación que nos diga el resultado final de la medición de un operador en un estado debido al hecho de que el resultado de una medición en mecánica cuántica es fundamentalmente probabilístico. Si escribiéramos algo, no sería una sorpresa cuál sería el resultado de dicha medición, ¿o sí? ;)

Sin embargo, podemos anotar algunas cosas sobre el acto de medir. Decimos que la medida de un operador$\hat{A}$en un estado$|\psi\rangle$resulta en un estado propio$|\phi_a\rangle$del operador$\hat{A}$con una probabilidad$|\langle \phi_a |\psi\rangle|^2$. ¿Cómo escribimos un proceso que toma el estado$|\psi\rangle$al Estado$|\phi_a\rangle$? Muy simple, proyectas el estado$|\psi\rangle$en el estado propio$|\phi_a\rangle$con el operador de proyección$\mathbb{P}_a=|\phi_a\rangle\langle \phi_a|$. Este es el objeto que estabas buscando. Verás,$\mathbb{P}_a|\psi\rangle=|\phi_a\rangle\langle \phi_a|\psi\rangle$que es solo$|\phi_a\rangle$hasta la normalización.

Sin embargo, debes notar que$\mathbb{P}_a$tampoco es exactamente el operador que describe el proceso de medición (incluso aparte del problema de la normalización) porque obviamente no es seguro que la medición colapsará nuestro estado inicial al estado propio$|\phi_a\rangle$. También puede colapsarlo a algún otro estado propio de$\hat{A}$, decir$|\phi_b\rangle$y si eso sucede, entonces ese proceso sería descrito por la acción de$\mathbb{P}_b$en$|\psi\rangle$. Entonces, podemos decir que el proceso de la medición está descrito por la acción del operador de proyección.$\mathbb{P}_a$sobre el estado$|\psi\rangle$con una probabilidad$|\langle\phi_a|\psi\rangle|^2$.

¡Finalmente, hay una forma muy agradable de describir el resultado de una medición que aún no ha visto! Déjame explicarte lo que quiero decir. Dado que el proceso de medición es fundamentalmente probabilístico, obviamente no podemos anotar el estado exacto posterior a la medición de nuestro sistema. Pero, si hemos realizado la medición pero aún no hemos mirado el resultado, entonces podemos decir que nuestro sistema está en el estado propio$|\phi_a\rangle$con una probabilidad$|\langle \phi_a|\psi\rangle|^2$. Y tenemos un objeto matemático para describir tal sistema para el cual conocemos las probabilidades de estar en diferentes estados. Se llama matriz de densidad. La matriz de densidad de un sistema que puede estar en un estado$|\lambda_n\rangle$con una probabilidad$p_n$es dado por

Entonces, para resumir, el acto de medir se puede describir de dos maneras.

• Puedes decir la medida de$\hat{A}$en$|\psi\rangle$da$\mathbb{P}_a|\psi\rangle$(hasta la normalización) con una probabilidad$|\langle\phi_a|\psi\rangle|^2$.
• Si ha realizado la medición pero no ha mirado el resultado, puede decir que la medición de$\hat{A}$en$|\psi\rangle$nos ha dado un sistema descrito por la matriz de densidad$\hat{\rho}_\hat{A}=\sum_a \langle \psi|\mathbb{P}_a|\psi\rangle \mathbb{P}_a$.

Una medida de lo observable$A$no se representa aplicando el operador$A$a la función de onda. La transición de$\psi$a$\phi$(es decir, la observación) no se puede representar mediante un operador lineal, ¡porque ni siquiera es una función! Como sabemos, lo específico$\phi$obtienes es aleatorio, por lo que no es posible tener una función matemática que te diga qué estado obtienes.

Sin embargo, lo que dice su ecuación es que si hace la medición y observa el valor$a$, el estado$\phi$después de la medición satisfará$A\phi = a\phi$. La cantidad$A\psi$no es muy relevante aquí.

Ha descubierto el problema de la medición en la mecánica cuántica y el hecho de que la ecuación del operador que se muestra no describe la evolución del tiempo.

Esto es lo que llevó a Everett a la interpretación de los Muchos Mundos; mientras tanto, en la interpretación más familiar de Copenhague, wikipedia dice,

"El problema [colapso] es desviado por la Interpretación de Copenhague, que postula que esta es una característica especial del proceso de 'medición'".

Una revisión completa de toda la interpretación está más allá del alcance de esta respuesta, pero basta con decir: su objeción está bien fundada.