Valores propios, operadores hermitianos y observables en mecánica cuántica

Considere un operador hermitiano. Entonces

a) en un espacio de dimensión infinita sus vectores propios son una base.

b) en un espacio de dimensión finita la matriz que representa el operador hermitiano es siempre diagonalizable.

c) 2 autovectores correspondientes a diferentes autovalores son colineales.

d) en un espacio N-dimensional finito hay N vectores propios linealmente dependientes

Tengo que justificar qué es verdad y por qué es verdad, y por qué los demás son falsos. Mi maestro dijo que la respuesta verdadera era b).

Aprendí en mecánica cuántica que un operador hermitiano siempre tiene valores propios reales. El operador es diagonalizable y los valores de la diagonal son sus valores propios.

Un observable es un operador hermitiano cuyos vectores propios constituyen una base ortonormal para el espacio E, incluso si es de dimensión infinita.

En mi opinión, tanto a) como b) son correctos. No entiendo por qué a) está mal.

¿Cuál sería la respuesta si en el enunciado, en lugar de considerar un operador hermitiano, consideramos un observable?

Con un conjunto infinito de vectores base, un vector da es una combinación lineal de infinitos vectores base. No estoy seguro de si eso está bien definido, consulte, por ejemplo, aquí en.wikipedia.org/wiki/Basis_(linear_algebra)#Definition

Respuestas (1)

En primer lugar, tiene razón en que b) es correcta yc) es incorrecta.

d) es un poco raro - si v → es un vector propio, entonces también lo son 2 v → , 3 v → , ..., norte v → - esos son norte vectores propios linealmente dependientes. Sin embargo, la intención del interrogador es obviamente que usted se dé cuenta de que la declaración "correcta" sería "hay norte linealmente en vectores propios dependientes".

El problema con a) es que los operadores pueden ser un poco extraños en espacios de dimensión infinita y, a veces, no es una buena idea pensar en ellos como matrices. El contraejemplo quizás más fácil para a) es el operador de posición (en L 2 ( R ) )

( X ^ ψ ) ( X ) = X ψ ( X ) .
X ^ es hermítica (con el dominio correcto), pero no tiene vectores propios: X ψ λ ( X ) = λ ψ λ ( X ) implica que ψ λ ( X ) = 0 cuando sea X ≠ λ , entonces ψ λ ( X ) = 0 Casi en cualquier parte.

En clases de Física, trabajarás con "valores propios generalizados" λ ∈ R que corresponden a "funciones propias generalizadas" ψ λ ( X ) = d ( X − λ ) , pero ten en cuenta que ψ λ no está en el espacio de Hilbert L 2 ( R ) . Los matemáticos le dirán que el espectro de X ^ no es discreta, sino continua. En cualquier caso, la afirmación de que "los vectores propios son una base del espacio de Hilbert" es incorrecta.

Mediante una extensión adecuada de la noción "hermitiana" a los espacios de Hilbert amañados, se puede demostrar que el teorema espectral de Gelfand-Kostyuchenko-Maurin proporciona una confirmación de: "Considere un operador hermitiano. Entonces // a) en un espacio de dimensión infinita sus vectores propios son una base". PD En ninguna parte del problema, ni en el texto escrito por el usuario, mencionó el "espacio de Hilbert", entonces, ¿por qué mencionarlo? ;)
Se podría argumentar que "hermitiano" (lo que realmente se quiere decir aquí es probablemente "auto-adjunto") ya implica que estamos hablando de espacios de Hilbert.
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