Valor propio imaginario de un operador hermitiano

Las funciones propias de un operador hermitiano son reales. Pero considere una función ψ ( X ) = mi − k X , X ∈ R , dónde k es una constante real. Entonces,

pag ^ ψ ( X ) = − i ℏ d d X mi − k X = i k ℏ ψ ( X ) .
Esto da un valor propio imaginario puro. ¿No es una contradicción? ¿O me estoy perdiendo algún punto crucial?

Interesante pregunta. Solo señalar que los valores propios de un operador hermitiano son reales, no las funciones propias.
esta función no es física
No físico no significa que sea matemáticamente imposible. Creo que la respuesta correcta se encuentra en el espacio de hilbert amañado asociado es L 2 ( R ) , tengo que comprobar pero creo que ψ ( X ) = mi − k X con verdadero k no mientas ahí. De todos modos, no necesita vectores propios para definir valores propios, y el teorema espectral, en este caso, descarta valores propios no reales

Respuestas (2)

¿Cuál es tu espacio de Hilbert? En L 2 ( R ) su función propia tendría una norma infinita. Si trataste en cambio con un conjunto acotado L 2 ( [ a , b ] ) , su operador no sería hermitiano a menos que imponga condiciones de contorno adecuadas para descartar los términos de contorno. ¡Estas condiciones de contorno, sin embargo, descartarían su vector propio candidato!

Bueno. Supuse que al especificar un operador también debemos especificar su dominio. ¿Está bien?
¡Sí, también debe especificar el espacio de Hilbert y el dominio en él!
V. Moretti-Pero incluso mi i k X no es miembro de L 2 ( − ∞ , ∞ ) . Pero esto da un valor propio real para el mismo operador. Por lo tanto, lo que entendí de su respuesta es que, a menos que se especifique el dominio, no se garantiza que los valores propios del operador hermitiano sean reales, podría ser cualquier cosa, real o imaginario.
(Reescribo, ya que no quedó claro ya que lo envié desde mi teléfono móvil). Sí, mi i k X es un vector propio generalizado como d ( X ) para el operador de posición... Para los operadores autoadjuntos, la condición de realidad también es válida para los vectores propios generalizados, pero es más técnico demostrarlo.

El teorema espectral se aplica a los operadores "auto-adjuntos". Los operadores simétricos hermitianos no son necesariamente autoadjuntos. Una de las definiciones equivalentes es que A es autoadjunto si no hay F en el espacio de Hilbert tal que ( F , ( A − λ ) gramo ) = 0 para todo g en el dominio de A con no real λ . Su ejemplo es una prueba de que el operador es autoadjunto.
Un ejemplo de un operador simétrico no autoadjunto es i d d X en el dominio de funciones suaves en ( 0 , ∞ ) . Considerar F = mi − X .

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