Por mi humilde formación en matemáticas (físico), tengo una vaga noción de lo que un espacio de Hilbert es en realidad matemáticamente, es decir, un espacio de producto interno que es completo , con completitud en este sentido, lo que significa heurísticamente que todas las posibles secuencias de elementos dentro de este espacio tienen un límite bien definido que es en sí mismo un elemento de este espacio (¡¿creo que esto es correcto?!). Esta es una propiedad útil ya que permite hacer cálculos en este espacio.
Ahora bien, en la mecánica cuántica los espacios de Hilbert juegan un papel importante ya que son los espacios en los que "viven" los estados (puros) de los sistemas mecánicos cuánticos. Dado un conjunto de vectores base ortonormales, para tal espacio de Hilbert, uno puede expresar un vector de estado dado, como una combinación lineal de estos estados básicos,
Un espacio de Hilbert es completa lo que significa que toda sucesión de vectores de Cauchy admite un límite en el propio espacio.
Bajo esta hipótesis existen bases de Hilbert también conocidas como sistemas ortonormales completos de vectores en . Un conjunto de vectores se llama un sistema ortonormal si . También se dice que es completo si se cumple cierto conjunto de condiciones equivalentes. Uno de ellos es
Esta relación de completitud de la base significa que puedes llegar a todas las direcciones posibles en el espacio de Hilbert. Significa que cualquier se pueden formar a partir de estos vectores base.
Si la suma de los proyectores (los ket-bras) no fuera la matriz unitaria, el vector podría tener componentes que no pueden ser representados dentro de su base.
Tome un ejemplo tridimensional. Tomando los tres vectores de base canónica como su , me gusta y así sucesivamente, se puede ver la relación de completitud. Si falta uno de ellos, su base no abarcaría todo el espacio.
Este es solo un truco matemático para descomponer un vector en componentes del espacio. considerar como del espacio cartesiano . Un vector se puede descomponer en el espacio cartesiano.
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Valter Moretti
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Marcas.
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