¿Estoy en lo correcto al decir que los operadores de escalera tienen valores propios complejos?

Desde$L_+$y$L_-$no son hermíticos, es perfectamente razonable, como posibilidad, que puedan tener valores propios complejos.

Sin embargo, para estos operadores específicos, este no es el caso. Puedes verificar esto explícitamente tomando la conocida relación

$$L_+|l,m\rangle = \sqrt{l(l+1)-m(m+1)}|l,m+1\rangle,$$ expresándolo como una matriz explícita, y tomando los valores propios. La estructura de la matriz es de la forma $$L_+ = \begin{pmatrix} 0 & & \\ \sqrt{2l} & 0 & \\ & \sqrt{4l-2} & 0\\ & & \ddots & \ddots & & \\ & & &\sqrt{4l-2} & 0 \\ & & & &\sqrt{2l} & 0\\ \end{pmatrix}$$ donde todas las entradas vacías son cero, y eso significa que el polinomio característico se puede calcular de manera bastante simple, utilizando técnicas de reducción de filas, a la expresión simple $$\begin{align} \det(L_+-\lambda) & = \det\begin{pmatrix} -\lambda & & \\ \sqrt{2l} & -\lambda & \\ & \sqrt{4l-2} & -\lambda\\ & & \ddots & \ddots & & \\ & & &\sqrt{4l-2} & -\lambda \\ & & & &\sqrt{2l} & -\lambda\\ \end{pmatrix} \\ & = (-1)^{2l+1}\lambda^{2l+1}. \end{align}$$ En otras palabras: el único valor propio de$L_+$es cero , con multiplicidad$2l+1$.

En cuanto a los vectores propios de ese valor propio, solo hay uno:

$$L_+|l,l\rangle = 0. \tag{$*$}$$ El resto de la matriz es un gran bloque de Jordan , para el cual probablemente no hay más autovectores que el caso base en$(*)$arriba. De hecho,$L_z$casi ya está en forma Jordan-Block en el$|l,m\rangle$base, y todo lo que necesita hacer es tomar un múltiplo no normalizado por unidad de la$|l,m\rangle$base para traer$L_z$en forma explícita de bloque de Jordan, $$L_+ = \begin{pmatrix} 0 & & & & & \\ 1 & 0 & \\ & 1 & 0\\ & & \ddots & \ddots & & \\ & & & 1 & 0 \\ & & & & 1 & 0\\ \end{pmatrix} .$$

Los valores propios son$0$. La forma más sencilla de ver esto es suponiendo que trabaja en un espacio de dimensión finita de tamaño$2\ell+1$. Entonces para cualquier estado$\vert \ell m\rangle$tienes$L_+^k\vert\psi\rangle=0$para$k\ge 2\ell+1$desde

$$L_+^{2\ell+1}\vert \ell,-\ell\rangle=0\, ,\qquad L_+^{2\ell+1}\vert \ell, -\ell+1\rangle=0\, \ldots$$ es decir, puede elevar un estado como máximo$2\ell$veces antes de matarlo. Ahora supongamos $$\vert \psi\rangle=\sum_m c_m\vert\ell m\rangle$$ es tal que$L_+\vert\psi\rangle=\lambda\vert\psi\rangle$. Aplicar$L_+$otra vez, y luego otra vez y luego aplicarlo$2\ell+1$veces para encontrar $$L_+^{2\ell+1}\vert\psi\rangle= \lambda^{2\ell+1}\vert\psi\rangle =\sum_m c_m L_+^{2\ell+1}\vert\ell m\rangle=0$$ de lo que se debe concluir$\lambda=0$. Se puede hacer el mismo argumento para demostrar que los valores propios de$\hat L_-$son$0$. Dado que los valores propios son$0$entonces uno debe encontrar estados$\vert \psi\rangle$tal que$L_+\vert\psi\rangle=0$. El único estado que satisface esto es (hasta la normalización)$\vert \ell,\ell\rangle$.

Esto es diferente a la situación del oscilador armónico, donde los estados nunca son eliminados por el operador de elevación.$\hat a^\dagger$porque el espacio contiene estados$\vert n\rangle$para cualquier$n\ge 0$, es decir, el espacio es de dimensión infinita. Además, es posible encontrar algunos estados que son estados propios de$\hat a$: estos son los famosos estados coherentes y son una suma que contiene todos$\vert n\rangle$estado.

Los vectores propios de los operadores de escalera se denominan " estados coherentes ". Citando el artículo de Wikipedia:

Desde$\hat{a}$no es hermitiano,$\alpha$es, en general, un número complejo.

Entonces, sí, tiene razón al decir que, en general, los valores propios son complejos (sin embargo, es posible tener algunos estados coherentes con valores propios reales).

Dado que esa respuesta parece controvertida...
Aquí hay un artículo de referencia revisado por pares sobre el tema para los operadores de escalera de momento angular:

D. Bhaumik et al 1975 J. Phys. R: Matemáticas. 8 de Génesis 1868