Cálculo de ⟨p⟩⟨p⟩\langle p\rangle y ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle para la función de onda [cerrado]

Dada la función de onda

ψ ( X ) = A Exp ⁡ [ − a ( metro X 2 ℏ + i t ) ]
me gustaria calcular σ pag .

⟨ pag ⟩ = ∫ ψ ⋆ ( ℏ i ∂ ∂ X ) ψ d X = 2 i metro a A 2 ∫ X mi − k X 2 d X = 0
ya que el integrando es impar. (Yo dejo k = 2 a metro ℏ )

Similarmente,

⟨ pag 2 ⟩ = ∫ ψ ⋆ ( ℏ i ∂ ∂ X ) 2 ψ d X = − 2 A 2 metro a ℏ [ ∫ k X 2 mi − k X 2 d X − ∫ mi − k X 2 d X ] = − 2 A 2 metro a ℏ [ 1 2 π k − 1 2 π k ] = 0

Pero esto no implica σ pag = ⟨ pag ^ 2 ⟩ − ⟨ pag ^ ⟩ 2 = 0 ?

Creo que debo haber cometido un error matemático, porque este resultado, tal como está, violaría el principio de incertidumbre tal como lo entiendo: σ X σ pag ≥ ℏ 2

Pero no veo nada incorrecto. Hace σ pag = 0 violar el principio de incertidumbre?

Las integrales que tiene se ven bien, pero ha evaluado una de ellas con un factor.
También necesita encontrar la constante de normalización, A , para obtener el valor de σ pag .

Respuestas (2)

Has cometido un error en tu cálculo de ⟨p2⟩. Has evaluado dos integrales, la segunda de las cuales está errada por un factor de dos.

Ah: ∫ − ∞ ∞ mi − k X 2 d X = π k

Hay un error en mi cálculo.

De hecho: ∫ − ∞ ∞ mi − k X 2 d X = π k

Entonces

⟨ pag ^ 2 ⟩ = − 2 A 2 metro a ℏ [ − 1 2 π k ] = metro a ℏ
dado que A 2 = 2 a metro π ℏ como se calcula utilizando la condición de normalización.

Esto, se puede utilizar para calcular

σ pag = metro a ℏ
De manera similar se puede demostrar que
⟨ X 2 ⟩ = ℏ 4 metro a
y
⟨ X ⟩ = 0
entonces
σ X = ℏ 4 metro a
y finalmente:
σ pag σ X = ℏ 2 metro a 4 metro a = ℏ 2 ≥ ℏ 2
que concuerda con el principio de incertidumbre.

Cálculo de ⟨p⟩⟨p⟩\langle p\rangle y ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle para la función de onda [cerrado]
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