¿Cómo se debe pensar sobre el concepto de una función propia en la mecánica cuántica?

Estaba trabajando en algunos problemas hoy y me encontré con este:

Considere una partícula en un "pozo" de potencial infinitamente profundo. Es decir: V ( X ) = 0 para − a / 2 < X < a / 2 y V ( X ) = ∞ en cualquier otro lugar.

Demuestre que las funciones ψ norte ( X ) = A norte porque ⁡ ( norte π X / a ) son funciones propias y determinan el valor propio.

Ahora, por lo que previamente pensé que sabía sobre las funciones propias, es que cualquier función propia de un operador es simplemente una función F para que el operador ( V ^ ) en este caso, trabajar en esa función devuelve un múltiplo escalar de la función:

V ^ F = λ F .
Pero al intentar eso aquí, esto no funciona. Desde A norte es solo una constante y porque ⁡ ( norte π X / a ) será necesariamente distinto de cero en algún lugar con X > a / 2 , no hay forma de recuperar un coseno "agradable"; ni siquiera con valor propio λ = 0 .

Entonces mi pregunta es: en alguna parte de mi razonamiento debo estar cometiendo un error, y sospecho que tiene que ver con la forma en que veo las funciones propias. Suponiendo esto, ¿cómo debería mirarlos en su lugar?

Tu interpretación está bien, solo que estás usando el operador incorrecto. Te está pidiendo funciones propias de energía, así que funciones propias del operador hamiltoniano.
¿Cómo puedo ver que se trata de una función propia de energía?
Sí, la pregunta estaba un poco mal escrita. Pero en QM, una de las preguntas más generales es: tengo un potencial, ¿cuáles son las funciones propias del hamiltoniano con ese potencial? Saber esto nos informa, por ejemplo, sobre los niveles de energía y, más adelante, sobre cómo evolucionan esos estados en el tiempo. En resumen, las funciones propias del hamiltoniano son de gran importancia, así que supuse que eso es lo que están pidiendo.

Respuestas (1)

El lenguaje de la pieza que citas deja mucho que desear. Para alguien con un dominio razonable de QM, está claro cuál era la intención, pero todavía está redactado de manera ambigua y el escritor tiene la culpa de cualquier confusión que surja.

Para ser claros, la cita le pide que demuestre que la función de onda dada es una función propia del hamiltoniano , es decir, del operador

H = − ℏ 2 2 metro d 2 d X 2 + V ( X ) ,
para el potencial dado. Esto está implícito en el contexto, pero no se explica explícitamente (donde hacerlo hubiera requerido una o dos palabras adicionales).

Sin embargo, dicho esto, la función de onda que le dieron es de hecho una función propia del operador potencial V ^ , ya que para todos X en el espacio de configuración [ − a / 2 , a / 2 ] tienes

V ( X ) ψ ( X ) = 0 = 0 ψ ( X ) ,
es decir, la función de onda vuelve a sí misma multiplicada por el valor propio λ = 0 .

La tarea en particular no hace un gran trabajo al sugerir que el espacio de configuración es solo [ − a / 2 , a / 2 ] .
¿Cómo se debe pensar sobre el concepto de una función propia en la mecánica cuántica?
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