¿Por qué representamos vectores de estado con vectores ket?

Por lo que entiendo actualmente dado un vector de estado general | ψ ⟩ la función de onda:

ψ ( X ) = ⟨ X | ψ ⟩
representar el vector | ψ ⟩ en la base de los valores propios del operador de posición. Del mismo modo, la función de onda
ψ ( pag ) = ⟨ pag | ψ ⟩
representan el mismo vector pero en la base del momento. En la práctica, podemos pensar en las funciones de onda como vectores columna con un número infinito de entradas, una para cada número real.

Así que cuando escribimos | ψ ⟩ queremos representar el vector abstracto | ψ ⟩ sin referirse a una base específica? ¿Por qué hacemos esto? En álgebra lineal 3D amigable, casi siempre pensamos en vectores en el contexto de una representación específica de ellos en alguna base. ¿No sería más fácil representar siempre vectores de estado en alguna base específica, como funciones de onda? Digo esto porque usar esta doble forma de representar vectores a veces tiende a confundir las cosas; por ejemplo: en las conferencias de QM, a menudo se describe que cierto operador actúa sobre los vectores ket:

A | ψ ⟩
y luego, después de un poco, el mismo operador, sin más explicación, se muestra actuando sobre funciones:
A ψ ( X )
Pero hay algunas operaciones que solo tienen sentido si se aplican sobre funciones y no sobre vectores ket. ¿Por qué representamos las cosas de esa manera? ¿Por qué no usamos solo la representación de función de onda de vectores en alguna base específica?

funciones de onda ψ ( X ) representar las componentes de los vectores | ψ ⟩ . Cuando usamos el operador on que actúa sobre | ψ ⟩ , se puede usar el mismo operador pero en una representación diferente en ψ ( X ) . Por ejemplo, el operador de cantidad de movimiento − i ℏ d d X está actuando sobre ψ ( X ) , pero es una representación especial del operador general pag ^ X actuando | ψ ⟩ .
No estoy de acuerdo con su afirmación de que elegir una representación de un vector es más fácil. De hecho, trato de evitarlo tanto como puedo. La representación específica es información superflua, y las cosas superfluas son superfluas en el mejor de los casos, confusas en el peor.
Me gustaría responder esto, pero soy reacio a dedicarle tiempo porque escribí una respuesta bastante extensa sobre su otra pregunta que aún no se ha resuelto. Me ofrecí a hacer un seguimiento de sus confusiones en el chat y me complacería mejorar la respuesta hasta el punto de que pueda aceptarse. Por favor, hágamelo saber si estaría interesado en eso.
Sin embargo, diré una cosa: todo este problema no tiene absolutamente nada que ver con la mecánica cuántica. Todo este problema es solo una cuestión de si estamos trabajando en una base específica o con una representación de los vectores independiente de la base. notaciones tales como A ψ ( X ) no son consistentes y no deben usarse. Escribiré una respuesta más completa una vez que resolvamos su pregunta anterior.
En álgebra lineal 3D amigable, casi siempre pensamos en vectores en el contexto de una representación específica de ellos en alguna base. ¿Nunca escribiste abstractamente una matriz como METRO y un vector como v ?
"Pero hay algunas operaciones que solo tienen sentido si se aplican a funciones y no a vectores ket". ¿Cómo qué? ¿Has leído sobre el texto estándar de Dirac?

Respuestas (1)

En las conferencias de QM, a menudo se describe que cierto operador actúa sobre vectores ket A | ψ ⟩ y luego, después de un poco, el mismo operador, sin ninguna explicación adicional, se muestra actuando sobre funciones A ψ ( X ) .

Esto no es correcto. Es posible que lo hayas visto en alguna parte, pero el autor estaba siendo descuidado o abusaba de la notación.

Dejar | ψ ⟩ sea ​​un vector ket abstracto. Si deseamos representarlo en la base de posición continua, podemos insertar el operador de identidad 1 = ∫ | X ⟩ ⟨ X | d X y obtener

| ψ ⟩ = ∫ | X ⟩ ⟨ X | ψ ⟩ d X = ∫ | X ⟩ ψ ( X ) d X
Hablando libremente, ψ ( X ) es el componente de | ψ ⟩ a lo largo del vector base | X ⟩ . Si quiere pensar en algo como un vector de columna infinitamente largo, entonces debería ser | ψ ⟩ , no ψ ( X ) (que es solo un número complejo).

Del mismo modo, si A es un operador abstracto, entonces podemos dejar que actúe sobre kets abstractos | ψ ⟩ como A | ψ ⟩ . En expansión | ψ ⟩ en la base de posición, encontramos

A | ψ ⟩ = ∫ A | X ⟩ ψ ( X ) d X

A sigue siendo un operador abstracto que actúa sobre un ket (en este caso, | X ⟩ ), no una función. Si insertamos otro operador de identidad ∫ | y ⟩ ⟨ y | d y , encontramos

A | ψ ⟩ = ∬ | y ⟩ ⟨ y | A | X ⟩ ψ ( X ) d y   d X

El objeto ⟨ y | A | X ⟩ ≡ A y X es el y X componente del operador abstracto A . Este objeto es el que actúa sobre las funciones. el resultado es que

A | ψ ⟩ = ∬ | y ⟩ A y X ψ ( X ) d y   d X

Por ejemplo, el operador de posición q tiene componentes q y X ≡ ⟨ y | q | X ⟩ = d ( y − X ) ⋅ X mientras que el operador de cantidad de movimiento tiene componentes PAG y X ≡ ⟨ y | PAG | X ⟩ = − i ℏ d ( y − X ) d d X . Tendríamos por tanto

q | ψ ⟩ = ∫ | X ⟩ X ⋅ ψ ( X ) d X
PAG | ψ ⟩ = ∫ | X ⟩ ( − i ℏ ) ψ ′ ( X ) d X

Si estamos siendo muy estrictos, diríamos que el operador de posición q come un ket con función de onda de espacio de posición ψ ( X ) y escupe un ket con función de onda de posición-espacio X ψ ( X ) . Sin embargo, a menudo nos relajamos un poco y decimos que q come una función de onda ψ ( X ) y escupe X ψ ( X ) .

La razón por la que usamos kets en primer lugar es que puede ser muy conveniente no restringirse a una base en particular. Me cuesta mucho creer que nunca hayas usado la notación vectorial r → a diferencia de la notación de índice r i , y esto es precisamente lo mismo. La única diferencia es que el índice i en r i atropella { 1 , 2 , 3 } , mientras que el índice X en ψ ( X ) atropella R .

Creo que su respuesta puede crear mucha confusión. No me malinterpretes, creo que tu respuesta es completamente correcta, pero tengo un problema con ella. ϕ ( X ) es un numero si X es fijo, sin embargo, a menudo interpretamos ϕ ( X ) no como un número sino como una función, las funciones de hecho forman un espacio vectorial complejo y pueden pensarse como un vector con infinitas entradas. Todo lo que responde se basa en la noción de que ϕ ( X ) es un número en mi pregunta, pero tenía la intención de decir ϕ ( X ) como una función. Creo que sería mejor usar esto en lugar de | ϕ ⟩ . ¿Entiendes mi punto? Si no me avisas.
@Noumeno Creo que estás malinterpretando mi respuesta. Si lo desea, puede trabajar exclusivamente en la representación de posición, pero si desea utilizar la notación bra-ket, debe comprender que existe una diferencia entre un operador abstracto (que actúa sobre kets abstractos) y el espacio de posición. representación del operador (que actúa sobre las funciones de onda).
Sí, lo entendí, y creo que tienes toda la razón. Pero también creo que podemos pensar en funciones como vectores complejos en dimensión infinita, en su respuesta parece implicar que solo podemos pensar esto sobre vectores ket, también encuentro que F ( X ) no es un número como dices, porque puede ser un número si X es fijo, pero también puede representar una función si X no es fijo Entonces, su respuesta tiene algunas partes problemáticas, ¿está de acuerdo o me estoy perdiendo algo con respecto a esto? Pero, en mi opinión, el mensaje principal de la respuesta es correcto, por supuesto.
@Noumeno O estás trabajando en notación bra-ket o no. Si lo eres, entonces ϕ ( X ) debe considerarse como el componente de su vector a lo largo del vector base | X ⟩ . Si no está trabajando en notación bra-ket, entonces el vector es la función ϕ . Me parece que estás tratando de mezclar ambas convenciones, lo cual no es una buena idea.
Estoy tratando de argumentar que la segunda convención es la mejor, de todos modos entiendo tu punto.
@Noumeno Si está tratando de ser matemáticamente riguroso, también encuentro preferible la segunda convención. Sin embargo, en el nivel de rigor de los físicos estándar, me resulta difícil argumentar que la notación bra-ket no es mucho más conveniente, especialmente cuando se hacen cosas como la teoría de perturbaciones.
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