¿El valor esperado es siempre un valor propio?

De hecho, esperaría que esto sea raro, y solo genéricamente cierto cuando el estado del sistema corresponde a un estado propio. Esto simplemente porque, para un estado$\psi = \sum a_{n}\lvert\phi_{n}\rangle$con valores propios$V_{n}$, tendrías$\langle V\rangle = \sum V_{n}\lvert a_{n}\rvert^{2}$, que no está obligado a ser igual a uno de los$V_{n}$. Es fácil verificar esto para un sistema de dos estados con los dos valores de$V_{n}$diferente.

Un ejemplo específico de mecánica cuántica para mostrar lo contrario es el spin-$\frac{1}{2}$sistemas Si estás en un estado propio de la$S_{z}$operador, el valor esperado de$S_{x}$es$0$, pero tiene valores propios$\frac{1}{2} \hbar$y$-\frac{1}{2} \hbar$.

No. La válvula de expectativa es el valor medio del observable para un estado dado. El estado que asume su sistema es una superposición (combinación lineal) de los estados propios. Digamos, por ejemplo: tiene un pozo de potencial infinito de ancho a , entonces los estados propios de energía/momento son:$\Phi_n=\sqrt{\frac{2}{a}}sin(\frac{n\pi x}{a}).e^{-iE_n t/\hbar}$. Puede crear cualquier otro estado del sistema (en$t=0$) utilizando la combinación lineal de estas funciones propias (sugerencia: serie de semisenus de Fourier). Digamos que su sistema está en estado$\Psi$, entonces:

$\quad$dónde$c_n$es un número complejo tal que$|c_n|^2$da la probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado$\Phi_n$cuando se realiza la medición. Cuando haces una medida en$\Psi$(digamos, energía por ejemplo), obtendrás$one$de los valores$E_n$(valores propios de energía) correspondientes al estado propio$\Phi_n$en$(a)$, y la probabilidad de obtener$E_n$es$|c_n|^2$. claramente todo$|c_n|^2$pecado$(a)$debe sumar para dar$1$. Claramente el valor promedio de$E$(el valor esperado):

Finalmente, para responder a su pregunta, mirando$(b)$puede decir que el valor esperado no siempre es igual al valor propio (puede ser, tal vez por pura casualidad, la suma aún puede sumar para dar uno de los$E_n$), Pero si$\Psi=\Phi_n$mismo (compare esto con$(b)$y mira como$|c|^2 =1$) entonces no importa cuántas medidas hagas, siempre obtendrás$E_n$, entonces$\langle E \rangle=E_n$.

Para el estado propio, el valor esperado era el valor propio.

Para un operador con un espectro continuo, el rango del valor esperado podría alinearse con el rango del valor propio.

Sin embargo, también hay casos en los que el valor esperado no está contenido en el rango del valor propio.

Considere un operador$H$con el valor propio entero$i$de$|i\rangle$. Configuración$a=\frac{1}{\pi}$y$r=(1-\frac{1}{\pi})$, dónde$|\psi\rangle =\sum_{i=0}^\infty \sqrt{a r^i} |i\rangle$. Los estados se normalizaron, pero el valor esperado$\langle \psi|H|\psi\rangle=\frac{1}{1-r}=\pi$, que era un número irracional.

Esta fue una respuesta complementaria a la de Pat y Jerry Schirmer.