Se agregó una fórmula de ángulo para resolver esta integral indefinida ∫2cosx−sinx3sinx+5cosxdx∫2cos⁡x−sin⁡x3sin⁡x+5cos⁡xdx\int\frac{2\cos x-\sin x}{3\sin x+5\ cos x }\,dx

A partir de esta muy buena pregunta Integrar ∫ 2 porque ⁡ X − pecado ⁡ X 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X d X y las respuestas relativas, me gustaría entender porque esta integral

(1) ∫ 2 porque ⁡ X − pecado ⁡ X 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X d X
debe dividirse así:

∫ 2 porque ⁡ X − pecado ⁡ X 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X d X = ∫ A ( 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X ) + B ( 3 porque ⁡ X − 5 pecado ⁡ X 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X ) d X
o se puede dividir de otra manera.

Utilizando la fórmula del ángulo sumado (para el numerador y el denominador del ( 1 ) )

a pecado ⁡ X + b porque ⁡ X = λ pecado ⁡ ( X + ϕ )
si λ = a 2 + b 2 y broncearse ⁡ ϕ = b / a   o
a pecado ⁡ X + b porque ⁡ X = λ porque ⁡ ( X + φ )
con broncearse ⁡ φ = − a / b   es posible obtener el mismo resultado?

2 porque ⁡ X − pecado ⁡ X = − 5 pecado ⁡ ( X − arcán ⁡ 2 ) y 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X = 34 pecado ⁡ ( X + arcán ⁡ ( 5 / 3 ) ) , y no estoy inmediatamente convencido de que esta reescritura sea de mucha utilidad para simplificar la integral
@ user170231 Mientras tanto, gracias por su comentario, que he apreciado. pero para el 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X usaré el a pecado ⁡ X + b porque ⁡ X = λ porque ⁡ ( X + φ ) .
@Ty. Hola, mientras tanto, no puedo decir si la división es tan única como la que resalté en rojo. Era solo una curiosidad porque tendría la derivada del denominador en el numerador menor que el signo pero no tendría el término en X menor que el coeficiente.

Respuestas (3)

I = ∫ 2 porque ⁡ X − pecado ⁡ X 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X d X
2 porque ⁡ X − pecado ⁡ X = 5 porque ⁡ ( X + a ) , dónde broncearse ⁡ a = 1 / 2 y 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X = 34 porque ⁡ ( X − b ) , dónde broncearse ⁡ b = 3 / 5
I = ∫ 5 porque ⁡ ( X + a ) 34 porque ⁡ ( X − b ) d X Sustituto t = X − b de modo que
I = 5 / 34 ∫ porque ⁡ ( t + a + b ) porque ⁡ t d t
El integrando es ahora: porque ⁡ ( a + b ) − broncearse ⁡ t pecado ⁡ ( a + b )
¿Puedes tomarlo desde aquí?

Mi ∞ gracias. Creo que de esta manera es más complicado.
@Sebastiano: De nada. De esta manera no es complicado. Solo se trata de calcular porque ⁡ ( a + b ) . Dado broncearse ⁡ a , broncearse ⁡ b , podemos encontrar pecado , porque y después de encontrar pecado ⁡ ( a + b ) , podemos encontrar porque ⁡ ( a + b ) . ¿Por qué crees que es complicado?
@Sebastiano: Yo lo que haría es imaginarme un rt. triángulo angulado (para ángulo a ), entonces es perpetrador. es 1 ,la base es 2 y por lo tanto hipot. es 5 . Por lo tanto podemos encontrar C o s a , s i norte a etc. De manera similar para el ángulo b . no tienes que hacer pecado ⁡ ( a r C t a norte ( 1 / 2 ) + a r C t a norte ( 3 / 5 ) )
¿Por qué hay raíces cuadradas? porque ⁡ θ = ± 1 / 1 + broncearse 2 ⁡ θ , pecado ⁡ θ = ± broncearse ⁡ θ / 1 + broncearse 2 ⁡ θ y la elección del ángulo depende de las coordenadas del punto. Realmente no me gusta mucho. Fue solo un pensamiento mío.
@Sebastiano, lo pensé y resulta que realmente no tienes que preocuparte por las señales aquí 😊. La razón es: arc tan (3/5) se encuentra en el primer cuadrante o en el 3er. Mi punto es que, por lo tanto, s i norte y C o s ambos tienen el mismo signo. Por lo tanto, teniendo en cuenta que hay un inicio de sesión de modo en ⁡ | porque ⁡ ( X − b ) | , no tienes que preocuparte por más/menos. Y esto hace que los cálculos sean mucho más simples de lo que piensas.
Siempre he apreciado 😊 en cada comunidad las respuestas correctas de los usuarios. Tienes razón pero la pregunta es relativa para estudiantes de secundaria. Es necesaria una hora para tener la solución final.

Asumiendo que tienes

∫ a porque ⁡ X + b pecado ⁡ X C porque ⁡ X + d pecado ⁡ X d X
(con a d − b C ≠ 0 , para evitar casos triviales) puedes escribir el denominador como k porque ⁡ ( X + φ ) y hacer la sustitución y = X + φ , por lo que el numerador se convierte en
a porque ⁡ φ porque ⁡ y − a pecado ⁡ φ pecado ⁡ y + b porque ⁡ φ pecado ⁡ y − b pecado ⁡ φ porque ⁡ y
por lo que la integral se convierte en
1 k ∫ ( ( a porque ⁡ φ − b pecado ⁡ φ ) − ( a pecado ⁡ φ − b porque ⁡ φ ) pecado ⁡ y porque ⁡ y ) d y
que es elemental.

Por otra parte, determinar φ por lo general, no es posible explícitamente y, al final del día, esto es esencialmente lo mismo que el método descrito en la pregunta.

Muchas gracias.... ∞ .

Respuesta para @Koro: Sí, con algunos cálculos obtengo:

∫ ( porque ⁡ ( a + b ) − broncearse ⁡ ( t ) pecado ⁡ ( a + b ) ) d t = t porque ⁡ ( a + b ) + pecado ⁡ ( a + b ) en ⁡ | porque ⁡ ( t ) | + k , k ∈ R

Por eso,

∫ 2 porque ⁡ X − pecado ⁡ X 3 pecado ⁡ X + 5 porque ⁡ X d X =
= 5 34 [ ( X − b ) porque ⁡ ( a + b ) + pecado ⁡ ( a + b ) en ⁡ | porque ⁡ ( X − b ) | ] + k =

Pero a = arcán ⁡ ( 1 / 2 ) y b = arcán ⁡ ( 3 / 5 ) . Pero tendré muchos cálculos teniendo,

porque ⁡ ( arcán ⁡ ( 1 / 2 ) + arcán ⁡ ( 3 / 5 ) ) = ⋯
pecado ⁡ ( arcán ⁡ ( 1 / 2 ) + arcán ⁡ ( 3 / 5 ) ) = ⋯
( X − arcán ⁡ ( 3 / 5 ) ) = ⋯ , porque ⁡ ( X − arcán ⁡ ( 3 / 5 ) ) = ⋯

Pienso que toma mucho tiempo de esta manera.....obtener la solución.

Se agregó una fórmula de ángulo para resolver esta integral indefinida ∫2cosx−sinx3sinx+5cosxdx∫2cos⁡x−sin⁡x3sin⁡x+5cos⁡xdx\int\frac{2\cos x-\sin x}{3\sin x+5\ cos x }\,dx
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