¿Hay restricciones que he olvidado para Integración por sustitución trigonométrica o estoy cometiendo algún otro error?

He estado jugando con algunos problemas de integración que anteriormente había resuelto correctamente. Intenté un enfoque que era un poco diferente en uno en particular, y obtengo lo que parece ser una respuesta ligeramente incorrecta. El problema original es:

$$\int \frac{x+2}{\sqrt{4-x^2}}\,dx \\[30pt]$$

Previamente resolví el problema dividiéndolo como:

$$\int \frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\,dx + 2\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\,dx \\[30pt]$$

Finalmente encontré que la respuesta correcta es:

$$2\cdot\sin^{-1}\Big(\frac{x}{2}\Big)-\sqrt{4-x^2}+C \\[30pt]$$

Lo que intenté a continuación fue resolver el problema usando sustitución trigonométrica sin dividirlo. Mi trabajo es el siguiente:

$$\int \frac {x+2}{\sqrt{4-x^2}}\,dx = \int \frac {x+2}{\sqrt{4(1-\frac{1}{4}x^2)}}\,dx = \frac{1}{2}\int\frac{x+2}{\sqrt{1-\frac{1}{4}x^2}}\,dx \\[30pt]$$

Aquí empiezo la sustitución trigonométrica con:

$$\frac{1}{2}x=\sin(\theta)\implies x=2\cdot \sin(\theta); dx=2\cdot \cos(\theta)\,d\theta \\[30pt]$$

Por lo tanto, mi trabajo continúa de la siguiente manera:

$$\frac{1}{2}\int\frac{x+2}{\sqrt{1-\frac{1}{4}x^2}}\,dx = \frac{1}{2}\int\frac{(2\cdot\sin(\theta)+2)}{\sqrt{1-\sin^2(\theta)}}\cdot(2\cdot \cos(\theta))\,d\theta = \\[30pt] \frac{1}{2}\int\frac{(2\cdot\sin(\theta)+2)}{\sqrt{\cos^2(\theta)}}\cdot(2\cdot \cos(\theta))\,d\theta = \frac{1}{2}\int\frac{(2\cdot\sin(\theta)+2)}{\cos(\theta)}\cdot(2\cdot \cos(\theta))\,d\theta = \\[30pt] \int (2\cdot\sin(\theta)+2)\,d\theta = 2\int (\sin(\theta)+1)\,d\theta = 2(\theta-\cos(\theta))+C = \\[30pt] 2\theta - 2\cos(\theta)+C \\[30pt]$$

Ahora resolviendo para$\theta$yo obtengo$\theta = \sin^{-1}\big(\frac{x}{2}\big)$y resolviendo con un triángulo rectángulo encuentro que$\cos(\theta) = \sqrt{4-x^2} \\[30pt]$.

Por lo tanto, sustituyendo x por x, la respuesta final parecería ser:

$$2\cdot \sin^{-1}\Big( \frac{x}{2}\Big)-2\sqrt{4-x^2}+C \\[30pt]$$

Pero:

$$2\cdot \sin^{-1}\Big( \frac{x}{2}\Big)-2\sqrt{4-x^2}+C \neq 2\cdot\sin^{-1}\Big(\frac{x}{2}\Big)-\sqrt{4-x^2}+C \\[30pt]$$

Entonces, ¿qué me estoy perdiendo? ¿Existe alguna regla que requiera que problemas como este se dividan antes de usar la sustitución trigonométrica? ¿He cometido un error en alguna parte de mis cálculos/álgebra?